Чтение онлайн

Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим

x = n + (-1)n /2.

При n = 2k получим x = 2k + /2, а при n = 2k + 1 получим x = 2k + - /2 = 2k + /2. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.

Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:

sin x = 0, x = n; sin x = 1, x = /2 + 2n; sin x = -1, x = - /2 + 2n;

cos x = 0, x = /2 + n; cos x = 1, x = 2n; cos x = -1, x = (2n + 1);

tg x = 0, x = n; ctg x = 0, x = /2 + n.

При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2k, x– у = 2l; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1), x– у = 2l. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x– у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x– у = k может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.

Однородные уравнения. Уравнение вида

а0 sink x + а1 sink– 1 x cos x + ...

... + аk– 1 sin x cosk– 1 x + аk cosk x = 0 (1)

называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.

При 0 /= 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а0 sink x = 0, откуда sink x = 0, так как а0 /= 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.

Аналогично при ак /= 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.

Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.

Случай 1. a0 /= 0 и аk /= 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cosk x, мы получим (поскольку cos x /= 0) равносильное ему алгебраическое уравнение

а0ук + а1уk– 1 + ... + аk– 1у + аk = 0 (2)

относительно у = tg x.

Можно также делить уравнение (1) на sink x. Тогда (поскольку sin x /= 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое уравнение

а0 + а1z + ... + аk– 1zk– 1 + аkzk = 0 (3)

относительно z = ctg x.

Пример 1. Решить уравнение

sin^3 x– 2 sin^2 x cos x– sin x cos^2 x + 2 cos^3 x = 0. (4)

Разделив его на cos^3 x, получим алгебраическое уравнение

у^3 - 2у^2 - у + 2 = 0,

где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:

у1 = -1, у2 = 1, у3 = 2.

Теперь остается решить совокупность уравнений

tg x = -1, tg x = 1, tg x = 2.

Мы получим следующие корни уравнения (1):

x = n ± /4 , x = n + arctg 2.

Случай 2. a0 = 0, или ak = 0, или а0 = ak = 0. Пусть, например, a0 = ak = 0, а a1 /= 0 и ak– 1 /= 0. Тогда уравнение (1) примет вид

a1 sink– 1 x cos x + a2 sink– 2 x cos^2 x + ...

... + ak– 2 sin^2 x cosk– 2 x + ak– 1 sin x cosk– 1 x = 0. (5)