Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
4 sin 3 + 5 >= 4 cos 2 + 5 sin .
14.16. Решите неравенство
a^2 sin^2 x <= sin^2 3x, а > 0.
14.17. При каких значениях x и у выражение
(2 cos t + 1/2 cos x cos у ) cos x cos у + 1 + cos x– cos у + cos 2t
положительно при всех значениях t? Укажите, где на координатной плоскости расположены точки (x, у), удовлетворяющие этому условию.
Глава 15
Трансцендентные неравенства
Решите неравенства:
15.1. (logsin x 2)^2 < logsin x (4 sin^3 x).
15.2.
15.3. Найдите решения неравенства
log2 cos x > log2 tg x,
удовлетворяющие условию 0 <= x <= .
Решите неравенства:
15.4. 4 log16 cos 2х + 2 log4 sin x + log2 cos x + 3 < 0.
15.5. log|cos x + 3 sin x| 1/2 > 0, если 0 <= x <= 2.
15.6. sin |lg x| + cos |lg x| > - 1/2.
15.7.
15.8. arctg x > arccos (1 - x).
15.9. (4х– x^2 - 3) log2 (cos^2 х + 1) >= 1.
15.10.
Глава 16
Трансцендентные уравнения
16.1. Докажите, что уравнение
2 sin^2 x/2 sin^2 x/6 = 1/x^2 + x^2
не имеет корней.
Решите уравнения:
16.2.
16.3. (tg x)sin x = (ctg x)cos x.
16.4. sin (2х– 1 + 2х– 2) cos (2х– 1 + 2х– 2) = 1/4 .
16.5. lg sin x + lg sin 5х = lg sec 4х.
16.6. lg^2 (sin x + 4) + 2 lg (sin x + 4) - 5/4 = 0.
16.7. logsin x (sin x– 1/4 cos x) = 3.
16.8. log8 cos^2 x sin x = 1/2 .
16.9. Найдите положительные решения уравнения
tg [ 5( 1/2 )x] = 1.
16.10. Решите уравнение
lg^2 cos x + 2 lg cos x + m^2 + 2m– 3 = 0.
16.11. Для каждого действительного числа а решите уравнение
lg^2 sin x– 2а lg sin x– а^2 + 2 = 0.
16.12. Решите систему уравнений
16.13. Решите уравнение
4sin^2 x + 4cos^2 x = -8x^2 + 12|x| - 1/2 .
16.14. Решите уравнение
Глава 17
Функции и их свойства
17.1. Решите неравенство
4f(x) + g(x) <= 0,
если функции f(x) и g(x) удовлетворяют системе
17.2. Сколько различных действительных корней имеет уравнение f(f(x)) = 0, где f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x?
17.3. Найдите все целые x и у, удовлетворяющие системе
17.4. Решите систему уравнений
17.5. Дана функция f(x) = 6х^2 + 2х + 6. Известно, что ее график касается графика первообразной F(x) этой функции в точке, абсцисса которой превосходит число 0,7. Найдите все значения x, для которых
17.6. Изобразите на плоскости (x, у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
log(x - у)(x + у) >= 1.
17.7. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств
17.8. На координатной плоскости заданы точки A(0; 2), B(1; 7), С(10; 7) и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.