Чтение онлайн

9.7. Поскольку неизвестное входит в уравнение либо в сочетании x– b, либо в сочетании а– x, то удобно ввести обозначения

  и получить систему алгебраических уравнений.

9.8. Ввести вспомогательное неизвестное у и свести решение данного уравнения к решению системы уравнений относительно x и у.

9.9. Перенести

 в правую часть уравнения и возвести обе части в квадрат.

9.10. Чтобы избавиться от знаков абсолютной величины, можно поступить двояко: либо потребовать, чтобы правая часть уравнения была неотрицательной, и решить уравнения

x^2 - 3x/2– 1 = -x^2 - 4x + , x^2 - 3x/2– 1 = x^2 + 4x– ;

либо рассмотреть два случая: в первом выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во втором — отрицательно.

9.11. Рассмотреть различные случаи расположения x и у по отношению к нулю (всего придется рассмотреть четыре случая). (!)

9.12. Решить систему уравнений с параметром k, а затем решить систему неравенств. (!)

9.13. Рассмотреть различные случаи взаимного расположения чисел x и у и чисел x и -у. Это позволит раскрыть знаки абсолютной величины. (!)

9.14. Второе уравнение — уравнение окружности радиуса а . Нарисовать кривую, которая определяется первым уравнением.

9.15. Одно решение очевидно: x = у = 0. Если ху /= 0, то можно разделить первое уравнение на ху, а второе на x^2у^2.

9.16. Если бы во втором и третьем уравнениях не было коэффициентов 2 и 3, то уравнения системы получались бы друг из друга с помощью циклической перестановки неизвестных x, у и z. Однако влияние коэффициентов оказывается столь сильным, что попытка использовать это свойство системы не приводит к успеху. Попытайтесь преобразовать систему в распадающуюся, для чего потребуется отыскать алгебраическое выражение, общее для двух уравнений, и исключить его.

9.17. Если первое уравнение системы записать в виде x + у = -z и возвести в квадрат, то с помощью второго ее уравнения можно найти ху.

9.18. Сопоставьте первое и последнее уравнения. Если записать их в виде

x + у = 1 - z, х^3 + у^3 = 1 - z^3,

то напрашивается способ, с помощью которого можно преобразовать систему в распадающуюся.

9.19. Если раскрыть скобки, то получим систему линейных уравнений относительно u = x + у + z, v = ху + xz + yz, w = xyz. Найдя u, v и w, можно вычислить х^3 + у^3 + z^3, если возвести x + у + z = u в куб: u^3 = х^3 + у^3 + z^3 + 3uv– 3w.

Однако такой путь решения, хотя и прост по идее, требует значительных выкладок. Решение можно упростить, если ввести в рассмотрение многочлен M(t) = (t– x)(t– у)(t– z) + а, который в силу условия задачи имеет корни t = а, t = b, t = с.

9.20. Первые два уравнения системы симметричны относительно x и у. Нужно использовать эту симметрию для того, чтобы получить одинаковые правые части у этих двух уравнений.

9.21. Если второе уравнение возвести в квадрат, то можно сравнить два выражения для (x + у)^2. (!)

9.22. В первое уравнение входит у, в последующие уt, yt^2 и yt^3 соответственно. Эта закономерность позволяет исключить у.

9.23. Каждый элемент, стоящий в левой части второго уравнения, получается из соответствующего элемента, стоящего в левой части первого уравнения, возведением в квадрат. Нужно использовать это свойство системы.

9.24. Левые части всех трех уравнений симметричны относительно x, у, z. Поэтому, подвергнув какому-то преобразованию любые два уравнения системы, разумно сделать то же самое и с оставшимися двумя парами уравнений.

9.25. Если известна сумма s = x1 + x2 + ... + xn, то из каждого уравнения можно найти соответствующее xk.

9.26. Чтобы избежать возведения двучлена в третью и, тем более, в пятую степень, нужно ввести новые неизвестные так, чтобы выражение 7x– 11у было одним из этих неизвестных.

9.27. Поскольку

 входит в оба уравнения с разными знаками, а у — с одинаковыми, то естественно сложить данные уравнения и вычесть. При этом мы приходим к системе, у которой слева стоят сумма и разность одинаковых радикалов, а справа — разные радикалы.

9.28. Чтобы левые части уравнений стали однородными относительно неизвестных, удобно ввести новое неизвестное z = у.