Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Способ 3. Если с < b < а, то можно записать, что b = с + d1, а = b + d2, где d1 и d2 — положительные числа. Подставьте в левую часть неравенства вместо а и b их выражения с + d1 и b + d2— соответственно.
10.10. Преобразования удобно начать с записи S по формуле Герона. Величину S нужно оценить так, чтобы прийти к выражению, симметричному относительно а, b и с. Поскольку из четырех множителей p, p– а, p– b, p– с первый удовлетворяет этому требованию (2р = а + b + с), следует подвергнуть преобразованиям три других множителя. При этом полезно обратить внимание на то обстоятельство, что их сумма равна p:
p– а + p– b + p– с = 3р– (а + b + с) = p.
10.11. Если перемножить крайние и средние скобки, то получатся два трехчлена, отличающиеся только свободным членом. Это позволяет оценить левую часть, выделив квадрат трехчлена, свободный член которого находится посередине между свободными членами первого и второго трехчленов. (!)
10.12. Данные уравнения симметричны относительно у и z и не симметричны (второе) относительно x. Если воспользоваться вторым уравнением и из первого выразить у + z через x, то мы получим простую систему относительно у и z, где x выступает в роли свободного члена.
10.13. Данные уравнения можно переписать в виде
у + z = 5 - x, yz + x(z + y) = 8,
после чего можно получить уравнение, корнями которого будут у и z, а коэффициенты будут зависеть от x.
10.14. Нужно рассмотреть три случая, в зависимости от того, положителен, отрицателен или равен нулю дискриминант трехчлена. Затем обратить внимание на знак старшего коэффициента. (!)
10.15. Так как коэффициент при x^2 положителен, то ветви параболы направлены вверх. Рассмотреть возможное расположение корней параболы относительно отрезка 1 < x < 2.
10.16. Воспользоваться теоремой Виета и рассмотреть случаи, когда х1 и x2 одного знака и разных знаков.
10.17. Определить направление ветвей параболы и расположение ее корней относительно точек -1 и +1, чтобы условия задачи выполнялись.
10.18. Если m /= 0 (случай m = 0 следует рассмотреть отдельно), то ветви параболы у = mx^2 - 4x + 3m + 1 должны быть направлены вверх.
10.19. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины. Удобнее записать это неравенство как совокупность двух систем: в первой выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во второй системе оно отрицательно. (!)
10.20. Чтобы избавиться от знаков абсолютных величин, достаточно вспомнить о том, как они могли быть получены, например
10.21. Чтобы упростить данное неравенство, его нужно умножить на 4x. Поскольку результат будет зависеть от знака x, необходимо рассмотреть два случая: x < 0 и x > 0. (!)
10.22. Если перенести 3 в левую часть неравенства и привести полученное выражение к общему знаменателю, то получим дробь, которая должна быть отрицательной.
10.23. Неравенство можно упростить, если перенести все в одну сторону, привести выражения, стоящие под радикалами, к общему знаменателю и вынести за скобки неотрицательный множитель
10.24. Удобно рассмотреть два случая: x > 0 и x < 0 (при x = 0 сразу видно, что неравенство не выполняется).
10.25. В неравенство входит сумма двух выражений: x ,
10.26. Поскольку второе слагаемое всегда неотрицательно, целесообразно рассмотреть два случая: x > 0 и x <= 0.
10.27. Если привести обе части неравенства к основанию 2, то можно заметить симметрию показателей.
10.28. Если перенести все влево и сгруппировать члены, содержащие иррациональное выражение в показателе степени, то это поможет разложить левую часть на множители. (!)
10.29. Придется разобрать два случая: x > 0 и x <= 0. Когда x > 0, данное неравенство равносильно такому:
10.30. Чтобы сравнить показатели степени, необходимо выяснить, как основание расположено по отношению к единице.
10.31. Так как обязательно x > 0, то можно упростить неравенство, разделив обе его части на x.
10.32. При x > 0 получаем равносильное неравенство
Что будет при x < 0?