Чтение онлайн

Приравнивая эти два выражения, найдем l(b - c) cos A/2 = bc sin A,

или

l(b– c) cos A/2 = 2bc sin A/2 cos A/2.

Так как cos A/2 в треугольнике не может быть равен нулю, то на него можно сократить. Теперь найдем l.

Ответ.

1.8. Воспользуемся сравнением площадей. С одной стороны, S = pr = a + b + c/2r, где через а обозначена искомая сторона. Находим отсюда, что 2S = ar + (b + c)r. С другой стороны, если биссектрису угла А обозначить через la, то

S = 1/2 lab sin /2 + 1/2 lac sin /2 = 1/2 la(b + c) sin /2

(рисунок сделайте самостоятельно). Из последнего равенства находим, что

B последнем преобразовании мы учли условие задачи, согласно которому lа = rq. Осталось ввести в рассмотрение радиус R описанной окружности. По условию R = prq. По теореме синусов

a = 2R sin = 2prq sin ,

откуда r =a/2pq sin . Полученное соотношение позволяет определить a из последнего выражения для 2S. B самом деле, после подстановки получим

откуда после несложных преобразований найдем a.

Ответ.

1.9. B треугольнике ABC (рис. P.1.9) введем обозначения: ВМ = a1, СМ = a2, АN = b1, СN = b2. Так как ВО — биссектриса треугольника АВМ, то AB : ВМ = АО : ОМ = 3 : 1. Аналогично AB : АN = ВО : ОN = 1 : (3 - 1). Итак,

Величины a1 и b1 можно выразить через стороны треугольника

a1 = ac/b + с, b1 = bc/а + с.

После подстановки в предыдущие два равенства мы получим два однородных выражения относительно a, b и с:

b + c/a = 3, a + c/b = 1/2 (3 + 1),

из которых легко найти отношения a : b и с : b. Достаточно переписать эти равенства в виде

1 + с/b = 3a/b, a/b + с/b = 1/2 (3 + 1).

Получим a/b = 3/c, с/b = 1/2 .

Таким образом, треугольник ABC подобен прямоугольному треугольнику с углами в /6 и /3·

Ответ. Углы А, B и С равны /3, /2, /6 соответственно.

1.10. Из треугольника MPA (рис. Р.1.10) находим MP = PA ctg . Но PA = OA - OP = q/cos  - p. Таким образом,

Находим MQ:

Полезно заметить, что MQ можно было не вычислять, поскольку выражение для MQ должно получиться из выражения для MP с помощью замены p на q, а q на p.

Ответ.

1.11. Пусть AP = 3, CR = 22 (рис. Р.1.11) Используя метод «сравнения площадей» для треугольника ABC, получим

3a = 22 c.

Так как а = BQ/sin C, с = BQ/sin A, то после сокращения на BQ получим

3/sin С = 22/sin А.  (1)

По условию BQ = 6OQ. Найдем отрезок AQ из треугольников ABQ и AOQ соответственно:

AQ = BQ ctg А = 6OQ ctg А, AQ = OQ ctg OAQ,