Чтение онлайн

Воспользовавшись двумя парами подобных треугольников: EPC и OBP, ADR и RBO, мы можем записать

Следовательно,

1.24. Треугольник ABC и три треугольника, образовавшихся внутри него (рис. P.1.24), подобны.

Поэтому

Следовательно,

1.25. Обозначим угол AOD (рис. P.1.25) через . Так как углы AOB и BOC равны 120°, то углы BOF и COE равны соответственно 60° - и 60° + . Составим сумму

AD^2 + CE^2 + BF^2 = R^2 sin^2 + R^2 sin^2 (60° + ) + R^2 sin^2 (60° - ).

После понижения степени получим

Тем самым доказано, что эта величина не зависит от положения прямой на плоскости.

1.26. По теореме косинусов

с^2 = а^2 + b^2 - 2ab cos С = 7,

откуда с = 7. По теореме синусов

Угол AOB (рис. P.1.26) центральный, а угол ACB вписанный. У них общая дуга, следовательно, угол AOB равен 120°.

Применим теперь теорему синусов к треугольнику AOB:

Оставшиеся величины RAOC и RBOC можно найти по формуле R = abc/4S.

Площади каждого из этих треугольников проще вычислить, если найти их высоты, опущенные из точки О:

Таким образом, площади треугольников AOC и BOC равны

Ответ.

1.27. По теореме косинусов и в силу равенства а^2 = с(b + с) получим b^2 + с^2 - 2bc cos А = c(b + с), откуда

cos А = b– c/2c.

Данное в условии равенство можно записать так: с^2 = а^2 - bc, и сравнить его с теоремой косинусов для угла С. Получим

cos С = b + c/2a.

Нам нужно доказать, что угол А вдвое больше угла С. Вычислим для этого cos 2С и сравним с cos А:

B выражение для cos А, которое мы получили раньше, сторона а не входит. Поэтому заменим в правой части полученной формулы а^2 на bc + с^2. Получим

т. е. cos А = cos 2С. Так как cos С = b + c/2a > 0, то угол С острый. Углы А и 2С лежат между 0 и , т. е. в интервале монотонности косинуса. Таким образом, из равенства косинусов следует равенство углов А = 2С.

1.28. Центр О вписанный окружности лежит на пересечении биссектрис (рисунок сделайте самостоятельно). Поэтому

Подставляя в данное соотношение OA^2 = OB · OC, получим

Применив к правой части формулу преобразования произведения синусов в сумму, приведем равенство к виду

Заметив, что B + С = - А, получим

cos B– C/2 = 2 sin^2 А/2 + sin А/2,

что и требовалось доказать.

1.29. По условию S = а^2 - b^2 - с^2 + 2bc. С другой стороны, S = 1/2 с sin А. Сравнивая эти выражения, получим а^2 - b^2 - с^2 + 2bc = 1/2 bc sin А.

Воспользуемся теоремой косинусов и заменим а^2 на b^2 + с^2 - 2bc cos А. После приведения подобных и сокращения на bc останется тригонометрическое уравнение

1/2 sin А = -2 cos А + 2,

которое можно переписать так:

sin А/2 cos А/2 = 4 sin^2 А/2.

Так как А — угол треугольника, то А лежит в первой четверти и sin А/2 /= 0. Наше уравнение принимает вид tg А/2 = 1/4 .

Ответ. А = 2arctg 1/4 .

1.30. Пусть О1, О2, О3 — центры квадратов, построенных на сторонах треугольника ABC (рис. P.1.30). Опустим из них перпендикуляры на стороны. Проведем средние линии DE и KE. На отрезках О2K и KE построим параллелограмм KELO2.