Чтение онлайн

Так как

AC = CD/sin A, BC = CD/sin B,

то

CD (1/sin B - 1/sin A) = CD

или

sin А– sin B = sin A sin B.

Последнее уравнение можно переписать так:

4 sin A– B/2 cos A + B/2 = cos (А– B) - cos (А + B).

Так как А– B = , то после замены

cos (А + B) = 2 cos^2 A + B/2 – 1

приходим к уравнению относительно y = cos A + B/2:

y^2 + 2 sin /2 y– cos^2 /2 = 0.

Из его корней

y1, 2 = ±1 - sin /2

годится только первый, т. е.

cos A + B/2 = 1 - sin /2.

Задача имеет решение при 0 < < .

Остается решить систему

Ответ. А = arccos [1 - sin /2] + /2,

B = arccos [1 - sin /2] - /2

С = - А– B.

1.15. Площадь S треугольника ABC (рис. P.1.15) может быть записана с помощью биссектрисы l следующим образом:

S = 1/2 (а + b)l sin С/2.

Теперь приравняем три выражения для 2S:

аhа = bhb = (а + b)l sin С/2.

Исключая а, получим

откуда

Задача имеет решение, если

B правой части стоит величина, равная половине среднего гармонического длин hа и hb.

Ответ.

1.16. Так как ОС и OB (рис. P.1.16) — биссектрисы соответствующих углов треугольника ABC, то

COB = - (OCB + OBC) = - B + C/2.

Но B + С = - А = - . Следовательно, COB = /2 + /2.

Применяя теорему синусов, получим

Ответ.

1.17. Проведем через центр О1 (рис. P.1.17) вписанной в треугольник ABC окружности прямую, параллельную AC и пересекающую медиану AE в точке О. Докажем, что О — точка пересечения медиан треугольника ABC.

С помощью сравнения площадей получим (а + d)BD = rP, где

P = а + (а + d) + (а + 2d) = 3(а + d),

откуда BD = 3r.

Так как AE — медиана, то из подобия треугольников BDC и EFC следует, что

EF = 1/2 D = 3/2 r.

Из подобия треугольников AOC и AEF получаем АО : AE = OG : EF = 2 : 3.

Следовательно, АО : ОЕ = 2 : 1 и О — точка пересечения медиан.

1.18. Площадь треугольника ABC (рис. P.1.18), с одной стороны, равна 1/2 hаа = 2kr^2, а с другой стороны, равна pr. Следовательно, p = 2kr.

Так как АВ1 = АС1 (касательные к одной окружности) и аналогично BC1 = ВА1, СВ1 = СА1, то СВ1 + BC1 = СА1 + ВА1 = а, АВ1 + СВ1 + BC1 = p и АВ1 = p– а = 2kr– kr = kr. Теперь можно вычислить