Чтение онлайн

Таким образом, SCOQ = SKND. Тем самым доказано, что SCKNQ = SQOD. Поскольку треугольники QOD и Q1OD равновелики (у них общее основание и общая высота), то

Аналогично доказывается равенство

Если точки P и Q лежат по одну сторону от диаметра (рис. P.1.45, б), то решение не меняется. Только в конце найденные площади придется не складывать, а вычитать.

1.46. Из треугольника OAK (рис. P.1.46)

OK^2 = R^2 - (AB/2)^2.

Так как KP1 = AP1– AB/2, то из треугольника OKP1

По условию OP1 = MP1. Приравнивая два полученных выражения для OK^2 и заменяя ОР1 на МР1, найдем

Нам нужно вычислить длину отрезка MP. Чтобы воспользоваться прямоугольным треугольником MPP1, в котором мы знаем длину МР1, нужно вычислить PP1. Так как треугольник APB прямоугольный, то

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим MP^2 = R^2.

Ответ. R.

1.47. Из треугольника AOC (рис. P.1.47) легко найти AC = 4R/5. Так как AC · СВ = МС · CN, то

откуда x = 2R/15.

Проведем перпендикуляр OD к хорде MN. Так как MD = 13x/2, то

CD = MD– МС = 5x/2 = R/3.

Косинус угла OCD равен синусу искомого угла NCB:

CD/OC = R/3 : 3R/5 = 5/9.

Ответ. arcsin 5/9.

1.48. Соединим центры О2 и O1 рассматриваемых окружностей. Отрезок O1О2 равен x + R/2 (рис. P.1.48).

Центр О2 лежит на биссектрисе угла OAB, равного 45°. Поэтому угол DAO2 равен 45°/2. Это позволяет выразить через R и x отрезок DO:

DO = R– AD = R– x ctg 45°/2 = R– x 1 + cos 45°/sin 45° = R– x(2 + 1).

Так как CO1 = R/2– x, O2С = DO = R– x(2 + 1), а O1O2 = x + R/2, то по теореме Пифагора для треугольника O2CO1 получим

(R/2– x)^2 + [R– x(2 + 1)]^2 = (R/2 + x)^2,

или после преобразований

[R– x(2 + 1)]^2 = 2Rx,

т. е.

Получили квадратное уравнение относительно x. Решая его, найдем

Так как

Ответ. x = (3 - 22)R.

1.49. Соединим точки M и C (рис. P.1.49).

Так как диаметр ED перпендикулярен к BC, то точка N делит хорду BC пополам. Это означает, что треугольник МСВ равнобедренный. Обозначим МВ = МС = px. Угол АМС равен удвоенному углу МBC, т. е. - 2. Из треугольника АМС по теореме косинусов имеем

AC^2 = АМ^2 + МС^2 - 2АМ · МС cos ( - 2) = x^2(q^2 + р^2 + 2 pq cos 2),

а из треугольника ABC по теореме синусов

AC = 2R sin /2– = 2R cos ,

т. е.

АС^2 = 4R^2 cos^2 .

Приравнивая найденные выражения для АС^2, получим

Площадь треугольника ABC будем искать в виде S = 1/2 AN · BC. Так как МВ = px, а МА = qx, то AB = (p + q)x. Из треугольника ABN находим AN = AB cos = (p + q)x cos . Сторону BC можно определить из треугольника MBF в котором сторона BF = 1/2 BC: