Чтение онлайн

Ответ.

3.3. Из некоторой точки В1 на стороне угла опустим перпендикуляр B1B на плоскость P (рис. P.3.3). Через В1 проведем плоскость, параллельную плоскости P. Она пересечет другую сторону угла в некоторой точке А1. Через B1B и А проведем плоскость, которая будет перпендикулярна к плоскости P.

Отрезки AA1 и ВВ1 равны. Обозначим АА1 = ВВ1 = а. Теперь можно вычислить все стороны треугольника ОАВ и воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти угол x.

Стороны OA и OB вычислить просто:

OA = а ctg , OB = а ctg .

Сторона AB равна А1В1 в треугольнике ОА1В1. Так как

то по теореме косинусов

Воспользуемся теоремой косинусов еще раз, но уже для треугольника ОАВ:

АВ^2 = ОА^2 + ОВ^2 - 2ОА · OB cos x.

Подставляя сюда найденные выше выражения для OA, OB и AB, получим уравнение относительно cos x. Решая его, после несложных тригонометрических преобразований найдем cos x.

Ответ.

3.4. Построим плоскость P, перпендикулярную к прямой а, и спроецируем на нее прямые b, с и d. Искомая прямая параллельна а, т. е. должна спроецироваться в точку О на плоскости P. Точка О будет одинаково удалена от проекций b1, с1 и d1 трех этих прямых.

Поскольку прямые а, b, с и d скрещивающиеся, ни одна из прямых b, с и d не может спроецироваться в точку на плоскости P, так как иначе она оказалась бы параллельной прямой а.

Проекции никаких двух прямых из b, с, d не сольются, так как это означало бы, что эти две прямые лежат в одной плоскости. Поэтому проекции b1, с1 и d1 могут расположиться на плоскости P лишь одним из четырех способов (рис. P.3.4, а).

B первом случае (проекции образуют треугольник) мы получим четыре точки, равноотстоящие от b1, с1 и d1. Это — центры вписанной и вневписанных окружностей. Проводя через каждую из них прямую, перпендикулярную к плоскости P, придем к четырем решениям.

Во втором случае (две из проекций параллельны) получим два решения (рис. P.3.4, б).

B третьем случае (проекции пересекаются в одной точке) будет единственное решение — прямая, проходящая через общую для трех проекций точку.

B последнем случае (проекции b1, с1 и d1 параллельны) решения нет.

Так как все возможные случаи исчерпаны, то задача решена.

3.5. Проведем CD параллельно AB (рис. P.3.5).

Угол SCD искомый. Построим CF AB и AD AB. B прямоугольнике AFCD имеем CD = АF = а/2, AD = CF = . Из треугольника SAD находим

Ответ. 7.

3.6. Если OK = 1/2 AB = OA, то треугольники OAM и OKM (рис. P.3.6) равны. Таким образом, условие OK = OA равносильно условию AM = KM и (совершенно аналогично) условию BP = KP.

Отрезок OK входит в оба треугольника OKM и OKP:

OK^2 = OM^2 - m^2, OK^2 = OP^2 - l^2, т. е. OM^2 - m^2 = OP^2 - l^2

(через m и l обозначены длины отрезков MK и KP соответственно).

Так как OM^2 = а^2 + AO^2, а OP^2 = b^2 + OB^2 и AO = OB, то

а^2 - m^2 = b^2 - l^2

или

m^2 - l^2 = а^2 - b^2. (1)

Точно так же приравняем выражения для отрезка AP^2, полученные из треугольников MAP и ABP:

(m + l)^2 - а^2 = b^2 + AB^2.

Вспомнив, что по условию AB^2 = 2ab, получим (m + l)^2 = а^2 + 2ab + b^2, т. е.

m + l = а + b. (2)

Разделив почленно равенство (1) на равенство (2), получим

m - l = а– b, (3)