Чтение онлайн

Кроме того, так как тетраэдр правильный, углы и образуют угол SDO, косинус которого равен 1. Поэтому

cos cos - sin sin = 1/3 .

Выразив в этом уравнении sin и cos через sin (так как пирамида правильная, углы и острые), получим

где y = sin^2 .

Возведем в квадрат и раскроем скобки; найдем y = 2/11 и вычислим tg :

Поскольку sin^2 = 25/9 sin^2 = 50/99, то аналогично найдем tg .

Ответ. 52/7, 2/3.

3.17. Треугольники DAM и DMS (рис. P.3.17) имеют общую высоту, проведенную из вершины D. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований AM и MS.

Из подобия треугольников MSF и ASK следует, что AM : MS = KF : FS.

Отрезки KF и FS выразим через KE. По теореме синусов для треугольника KFE имеем

KF = KE sin /sin ( + ).

Так как KS = KE/2 cos , то

FS = KS– KF = KE/2 cos – KE sin /sin ( + ) = KE sin ( - )/2 cos sin ( + )

(впрочем, это можно установить и непосредственно из треугольника EFS).

Остается найти отношение KF : FS.

Ответ. 2 sin cos /sin ( - ).

3.18. По условию высоты DO пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Поэтому, соединив точку О с вершиной С и продолжив до пересечения с AB, получим отрезок СЕ, являющийся высотой треугольника ABC, опущенной на сторону AB (рис. P.3.18).

Прямая AB перпендикулярна к DO и EC, следовательно, прямые AB и CD тоже перпендикулярны друг другу. Таким образом, прямая CD перпендикулярна к двум прямым BD и AB плоскости ABD, а потому перпендикулярна к прямой AD. Мы доказали, что угол ADC прямой. Аналогично доказывается, что прямые BD и AD тоже перпендикулярны.

Теперь нетрудно ответить на вопрос задачи: площадь треугольника ADB равна 1/2 b · AD, а площадь треугольника ADC равна 1/2 с · AD. Отношение площадей равно отношению неравных катетов.

Ответ. b/c.

3.19. Объем пирамиды SABC (рис. P.3.19) равен удвоенному объему пирамиды с основанием DSC и высотой AD.

Так как AD = a/2, то этот объем равен Sa/6, а объем всей пирамиды равен Sa/3, где через S обозначена площадь SDC.

Проведем высоту DE и вычислим EC и DE.

Треугольник CAS равнобедренный (AS = AC), поэтому

EC = AC sin /2 = a/2 cos sin /2.

Так как DC = a/2 tg , то

Остается вычислить объем:

V = aS/3 = a/3 · DE · EC.

Ответ.

3.20. Рассмотрим два случая:

 <= /2, > /2.

Если угол не тупой, то (рис. P.3.20, a) CD = SD = AB/2.

Пусть SO — высота пирамиды, SD и SE — высоты в треугольниках ASB и CSB. Из треугольника SOD

OS = SD sin = AB/2 sin , OD = AB/2 cos .

B треугольнике COE угол OEC прямой, а угол OCE равен 45°. Поэтому

OE = OC/2 = 1/2(CD–  OD) = AB/22(1 - cos ).

Теперь можно найти тангенс искомого угла:

tg x = OS/OE = 2 ctg /2.

Если угол тупой, то (рис. P.3.20, б) снова получим CD = SD = AB/2. Высота OS равна

OS = SD sin ( - ) = AB/2 sin ,