Чтение онлайн

Делая пометки в тетради, не раз он возвращался к прямым теоремам параллельных.

(Lobach01.gif)

"Предложение 27. Если прямая EF, пересекая две (другие) прямые Л В и CD, образует с ними равные накрестлежащже углы (например, с и е), то эти прямые А В и CD параллельны".

"Предложение 28. Если прямая EF, пересекая две (другие) прямые АВ и CZ), образует внешний угол (например, а), равный внутреннему противолежащему с той же стороны (то есть соответственному углу е), или если внутренние односторонние углы (например, d и е) составляют вместе два прямых угла (то есть 180°), то эти прямые АВ и CD параллельны".

Лобачевский, отложив перо, задумался. Нет, ни к чему тут не придерешься. Доказательство прямой теоремы параллельных Евклид выполнил безупречно, четко, на солидной основе первых двух постулатов и общих логических положений. Из этого, однако, еще не следует, что непременно должна быть справедливой и обратная теорема.

Если мы, например, знаем, что человек работает в Казанском университете, преподает или учится, то, конечно, живет он в Казанской губернии. Но можно ли утверждать: если человек живет в Казанской губернии, то работает он в Казанском университете? Нет, разумеется, это уже под вопросом. В геометрии то же самое: истинность какой-либо теоремы еще ничего не говорит об истинности обратного суждения. Поэтому необходимо проверить:

справедливо ли утверждение, обратное предложениям 27 и 28? Так появилась в "Началах" Евклида следующая, 29 теорема [Прямая теорема о параллельных прямых: если при пересечении двух прямых третьей оказалось, что "te+"Cd = 180° (или выполняется любое из 12 подобных равенств), прямые параллельны.

Обратная теорема о параллельных прямых: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей окажется, что - L"f:d = 180° (или выполняется любое из 12 подобных равенств).].

"Предложение 29. Прямая, пересекая две параллельные прямые, образует с ними равные накрестлежащие углы, внешний угол равен соответственному внутреннему, а внутренние односторонние углы составляют вместе два прямых".

Доказательство этой обратной теоремы параллельных нужно было выполнить теми же средствами, какими доказаны предыдущие двадцать восемь утверждений "Начал", то есть ссылкой на ранее выведенные предложения, и в конечном итоге ссылкой на первые четыре постулата и общие логические положения. Но тут Евклид неожиданно изменил своему принципу. Он прибег к новому постулату, который - что казалось таким странным - был просто-напросто перефразировкой доказываемой теоремы:

"Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d".

Это и есть пятый постулат Евклида [В настоящее время вместо Евклидовой формулировки принимают ей эквивалентную, принадлежащую английскому математику XVIII столетия Плейферу: через точку, взятую вне прямой, в ее плоскости можно провести только одну прямую, не встречающую данную]. И каждый, кто приступает к изучению геометрии, должен принять ево суть на веру, без доказательств, рассматривая как одну из исходных истин, на которых строится вся геометрия.

Но разве предыдущее предложение менее очевидно, чем это? На каком же основании возводить его в ранг аксиомы? Оно скорее производит впечатление теоремы - по своему содержанию значительно сложнее других постулатов и для понимания требует уже ряд предварительных сведений. Более того, в "Началах" оно используется довольно поздно, лишь в доказательстве двадцать девятого предложения, тогда как ко всем остальным аксиомам и постулатам Евклид прибегает в первых же своих теоремах.

Да, это произвольное допущение действительно является "темным пятном" геометрии, нарушающим всю ее гармонию. Оно помещено среди постулатов не потому, что его нельзя доказать, вывести умозаключением из других, более очевидных истин, а только потому, что Евклид не смог отыскать удовлетворительного решения. Геометрию нужно очистить от этого пятна, следует найти доказательство и свести пятый постулат в ранг теоремы.

Рассуждая, Лобачевский запустил пальцы в густые волосы.

– Но как приступить к решению этой задачи?
– прикусил он кончик гусиного пера.
– Будем исходить из аксиомы прямой: через две точки можно провести только одну прямую. Так?
– Перо теперь заскрипело по шершавой бумаге.
– Однако существует ли геометрическая связь между этой аксиомой и пятым постулатом?

Лобачевский тщетно пытался ухватить какую-нибудь наводящую нить, но та не давалась, ее пока не было.

В кабинет вошла Прасковья Александровна.

– Кушать пора, сынок.

– Разве...
– очнулся он.
– Какой тут завтрак... Я пока не хочу.

– Не завтрак, - напомнила мать.
– Подошел обед... Не останови тебя, так ты не вспомнишь и до вечера. Ну, как хочешь, а я принесу.

Когда на столе появилось первое блюдо, в комнату, распахнув дверь, неожиданно ворвался Броннер. Полы его длинного незастегнутого сюртука развевались, шляпу он держал в руке.

– Нашел, Николай! Нашел!
– крикнул он еще с порога.
– Не зря называли меня иллюминаты Аристотелем. Целый день искал и все-таки нашел.

Николай удивленно смотрел на физика: его крупное лицо с широким лбом, обрамленное длинными волосами, которые он то и дело закладывал за уши, было бледным. Он всегда бледнел, когда был чем-нибудь взволнован.

– Добрый день, учитель!
– обратился к нему Николай по-немецки. Садитесь, пожалуйста!

Броннер бережно достал из бумажного свертка старую, потрепанную книжку и, протянув ее Лобачевскому, сказал:

– Откройте сорок восьмую страницу... Нашли? Обратите внимание вот на эти строчки!

– "Необходимость в математических польожелинх и необходимость в вещах, возникающих согласно природе, - прочел Николай на греческом языке, - в известном отношении очень сходны, именно, если прямая линия есть вот это (то есть установленное аксиомой прямой), то необходимо, чтобы треугольник имел (внутренние) углы, равные двум прямым..." Послушайте, ведь это же интересно!
– прервал чтение Лобачевский.
– Чьи слова?

– То-то же, - с некоторой гордостью отозвался Броннер.
– Дальше читайте.

– "Однако нельзя еще сказать, что если последнее положение правильно, то правильно и первое, а только:

если оно (то есть утверждение, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°) неправильно, не будет и прямой... не будет начал, если треугольник не будет иметь два прямых угла".

Лобачевский посмотрел на Броннера.

– Это же Аристотель!
– воскликнул он.
– Спи огненные слова мне врезались в память еще в гимназии.

– А вы читайте, читайте!
– улыбнулся физик.
– Вот здесь.