События и люди. Издание пятое, исправленное и дополненное.
Шрифт:
Суммирование в (5) распространяется по электронам и ионам.
Заметим, что при условии (4) поле пробного статического заряда q в плазме оказывается экранированным, причем потенциал поля дается формулой
где
Вместе с тем, если rp сравнить со средним расстоянием между частицами, то окажется, что их отношение велико:
Это означает, что в сфере действия заряженной частицы находится большое число других частиц, и в этом смысле возникает сомнение в справедливости учета только парных столкновений, а следовательно, и самого кинетического уравнения Ландау (5).
3. Первым, кто обратил внимание на неприменимость больцмановского приближения для описания плазмы, был А. А. Власов, который писал [3]: «Метод кинетического уравнения, учитывающий только парное взаимодействие — взаимодействие посредством удара — для системы заряженных частиц является аппроксимацией, строго говоря, неудовлетворительной. В теории таких совокупностей существенную роль должны играть силы взаимодействия и на далеких дистанциях. Следовательно, система заряженных частиц есть по существу не газ, а своеобразная система, стянутая далекими силами» [50] . При этом А. А. Власов обосновывал свое утверждение из неравенства (8), являющегося следствием (4). Согласно (4), внутри радиуса действия сил находится одновременно много частиц, в то время как, согласно приближению Больцмана (3), должно иметь место обратное условие. Это и натолкнуло А. А. Власова на мысль ввести взаимодействие данной частицы одновременно со всеми частицами плазмы посредством создаваемых этими частицами электромагнитных полей как главное взаимодействие. Парные же взаимодействия должны учитываться как малые поправки.
50
Эта мысль гармонирует со словами Д. А. Франк-Каменецкого, назвавшего плазму «четвертым агрегатным состоянием вещества». Она до конца жизни волновала и самого А. А. Власова, пытавшегося посредством самосогласованного поля объяснить кристаллическое состояние вещества.
В результате кинетическое уравнение для электронов запишется в виде
В отличие от уравнения Ландау (5) здесь поля E и B — это полные поля, создаваемые не только внешними источниками, но и самими частицами плазмы. Поэтому они удовлетворяют уравнениям Максвелла
в которых кроме внешних источников pext и jext фигурируют индуцированные в плазме источники:
Здесь так же, как и выше, суммирование ведется по всем сортам заряженных частиц.
Что же касается (не выписанного) столкновительного члена в уравнении (9), то А. А. Власовым он считался малым и принимался в форме Ландау (5). Однако, оставаясь в рамках приближения Больцмана, обрезание взаимодействия, по его мнению, следовало делать не на дебаевском радиусе, а на длине порядка среднего расстояния между электронами. Поэтому кулоновский логарифм L в теории Власова принимался в η– 1 раза меньшим, чем (6). Это, на первый взгляд, несущественное отличие в действительности является принципиальным. Здесь надо отдать должное физическому чутью Ландау, который в этом моменте оказался полностью прав. Строго это, однако, было доказано лишь в конце 1950-х годов А. Ленардом и Р. Балеску, получившими интеграл парных столкновений с учетом поляризации плазмы и обосновавшими обрезание взаимодействия на дебаевском радиусе (см. учебник [7]). Последовательный же вывод уравнения (9) методом разложения по параметру (4) был дан, как уже отмечалось выше, в монографии Н. Н. Боголюбова [4]. Систему уравнений (9) — (11) в пренебрежении парными столкновениями в литературе принято называть системой уравнений Власова-Максвелла, а само кинетическое уравнение (9) — уравнением Власова. Часто последнее еще называют кинетическим уравнением для бесстолкновительной плазмы. Такое название, однако, следует считать неудачным, поскольку уравнение (9) даже без учета правой части учитывает дальние столкновения, а точнее — взаимодействие частиц посредством самосогласованных полей [51] .
51
Здесь следует обратить внимание на принципиальные особенности системы кулоновски взаимодействующих одноименно заряженных частиц, т. е. системы с чистым отталкиванием либо с чистым притяжением (гравитирующие тела). В такой системе отсутствует дебаевская экранировка поля заряда, и получить сходящийся интеграл столкновений невозможно. Следствием этого обстоятельства является невозможность существования устойчивого термодинамически равновесного газа из системы таких частиц. Такой газ либо коллапсирует (при притяжении), либо разлетается (при отталкивании) в отсутствие внешних воздействий. Для устойчивости необходимо наличие заряженных частиц разного знака. Вместе с тем последнее обстоятельство определяет невозможность построения теории неидеальной плазмы, которая реализуется при выполнении обратного неравенства (8) либо (4), совпадающего с условием применимости больцмановского описания, а потому, казалось бы, открывающего путь построения кинетической теории. Увы, при этом происходят захват разноименно заряженных частиц и образование атомов (рекомбинация). Эти вопросы, однако, выходят далеко за рамки настоящей статьи, претендующей только на исторический экскурс в развитие кинетической теории идеальной плазмы.
А. А. Власов на основе приведенной системы уравнений в пренебрежении парными столкновениями исследовал малые линейные колебания плазмы в отсутствие внешних источников и внешних полей. При это он показал, что в такой изотропной плазме существуют чисто продольные (в которых Е = —
Проведенный А. А. Власовым анализ дисперсионного уравнения для малых продольных колебаний изотропной электронной плазмы с максвелловской равновесной функцией распределения по скоростям показал, что в пренебрежении парными столкновениями частиц в области фазовых скоростей, превышающих тепловую скорость электронов, такие колебания не затухают и обладают следующим законом дисперсии:
где и ωp — известная со времен И. Ленгмюра плазменная (электронная ленгмюровская) частота, а
хорошо согласовывалось с известными экспериментальными результатами И. Легмюра и Л. Тонкса [8]. Подтверждением правильности теории А. А. Власова следует считать также то, что медленные продольные колебания в чисто электронной плазме оказались невозможными. Именно, в области vφ = ω/k << vTe поле таких колебаний экранируется, причем размер экранировки определяется дебаевским радиусом, что согласуется с глубиной дебаевской экранировки поля статического заряда в плазме (7), полученной Л. Д. Ландау из чисто термодинамических соображений [52] .
52
Следует отметить, что в цитируемой работе И. Легмюра и Л. Тонкса в рамках гидродинамического описания была развита идеология самосогласованного поля и, более того, получены спектры (12) (с небольшой неточностью: вместо коэффициента 3 в поправочном слагаемом они получили множитель 1) и дебаевская экранировка низкочастотного продольного поля. Ими же было показано, что малые возмущения в плазме не апериодически затухают со временем, а колеблются с частотой ωp и лишь слабо затухают вследствие столкновений электронов.
Вместе с тем вызывало некоторую неудовлетворенность отсутствие затухания колебаний, хотя в приближении самосогласованного поля взаимодействие частиц учитывалось. Сам А. А. Власов в этом ничего плохого не видел. Более того, парную столкновительную релаксацию, которая, согласно теории Л. Д. Ландау, определяется частотой электрон-ионных столкновений
он считал пренебрежимо малой, поскольку
Более существенным А. А. Власову представлялось дисперсионное расплывание. Оценивая исходя из формулы (12) время расплывания τg неоднородности с размером 1/k, находим, что
т. е. это время велико по сравнению с периодом колебаний. Причем роль столкновений определяется величиной νeffτg, которая есть произведение малого параметра (15) на большой параметр (16).
4. В [2] Л. Д. Ландау резко отрицательно отреагировал на отсутствие в теории А. А. Власова диссипации малых колебаний при пренебрежении парными столкновениями. Считая уравнение Власова применимым для описания электронных колебаний плазмы, он тем не менее писал: «Власов искал решения вида exp(—iωt + ikr) и определял зависимость частоты ω от волнового вектора k. В действительности вообще не существует никакой определенной зависимости ω от k, и при заданном значении k возможны произвольные ω». Решая, как и А. А. Власов, начальную задачу для малых колебаний, Л. Д. Ландау приходит к тому же дисперсионному уравнению [53]
53
Ландау вообще не воспринимал введение дисперсионного уравнения, что особенно резко прозвучало в статье [5].
которое исследовалось А. А. Власовым. Здесь f0(v) — равновесная функция распределения по скоростям, которая считается максвелловской и нормированной на плотность электронов n:
В уравнении (17) фигурирует несобственный интеграл Коши с полюсом подынтегрального выражения на действительной оси интегрирования при v = ω/k. Именно в понимании этого интеграла и возникло разночтение между А. А. Власовым и Л. Д. Ландау. А. А. Власов считал, что интеграл надо брать в смысле главного значения, и как результат получил решение уравнения (16) в виде незатухающих колебаний со спектром (12). Л. Д. Ландау же указал, что интеграл надо брать по контуру (правило обхода Ландау), соответствующему представлению полюса в виде
где P означает интеграл в смысле главного значения. Это приводит к появлению у частоты малой мнимой поправки (ω → ω + γ)
описывающей слабое затухание колебаний со спектром (12). Это затухание и стало впоследствии именоваться как «бесстолкновительное» затухание Ландау. Слово «бесстолкновительное» мы поместили в кавычки, поскольку в действительности уравнение Власова многочастичные (или коллективные) столкновения частиц учитывает; оно не учитывает лишь ближние парные взаимодействия. Для учета парных взаимодействий, как мы уже знаем, надо дополнить уравнение Власова в правой его части интегралом столкновений. Учет парных столкновений приведет к дополнительному затуханию δγ, причем