Чтение онлайн

727. Если подвешенная катушка имеет форму длинного соленоида и может двигаться параллельно своей оси, входя при этом внутрь большего соленоида, имеющего общую с ней ось, то при одинаковом направлении токов в обоих соленоидах подвешенный соленоид будет втягиваться внутрь неподвижного с силой, которая остаётся приблизительно однородной до тех пор, пока концы этих соленоидов не окажутся близко друг к другу.

728. Чтобы создать однородную продольную силу, действующую на маленькую катушку, помещаемую между двумя другими одинаковыми катушками гораздо больших размеров, мы должны сделать отношение диаметра больших катушек к расстоянию между их плоскостями равным отношению 2 к 3. Если пустить через обе катушки один и тот же ток в противоположных направлениях, то в выражении для члены, содержащие нечётные степени r, исчезают и, поскольку sin^2=4/7, а cos^2=3/7, член, содержащий r, также исчезает и в соответствии с п. 715 для переменной части со имеем

8

7

3

7

n

3

r^2

c^2

P

–

11

7

r

c

P

+…

,

что указывает на почти однородную силу, действующую на маленькую подвешенную катушку. Расположение катушек в этом случае такое же, как расположение двух внешних катушек в трёх катушечном гальванометре, описанном в п. 715, см. рис. 50.

729. Если мы хотим подвесить катушку между двумя другими катушками, расположенными так близко к ней, что расстояние между взаимодействующими проводами мало по сравнению с радиусами катушек, то наиболее однородная сила получается, если радиус каждой из внешних катушек превышает радиус средней катушки на 1/3 расстояния между плоскостями средней и внешней катушек. Это следует из выражения для взаимной индукции между двумя круговыми токами, полученного в п. 705.

ГЛАВА XVI

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

730. Очень многие измерения электрических величин зависят от наблюдений движения колеблющегося тела; поэтому мы уделим внимание природе этого движения, а также наилучшим методам его наблюдения.

Малые колебания тела около положения равновесия обычно аналогичны колебаниям точки, на которую действует сила, меняющаяся пропорционально расстоянию от некоторой фиксированной точки. В наших опытах в случае колеблющихся тел имеется также сопротивление движению, обусловленное рядом причин, таких как вязкость воздуха и вязкость нити подвеса. Во многих электрических приборах имеется другой источник сопротивления, а именно обратное воздействие токов, индуцируемых в проводящих контурах, расположенных вблизи колеблющихся магнитов. Эти токи индуцируются движением магнита и их действие на магнит в соответствии с правилом Ленца состоит в постоянном противодействии его движению. Во многих случаях это составляет основную часть сопротивления.

Иногда около магнита с явно выраженной целью уменьшения или полного прекращения его колебаний помещается металлический контур, называемый Демпфером. Поэтому о сопротивлении такого рода мы будем говорить как о Демпфирующем.

В случае медленных колебаний, таких, которые легко наблюдать, полное сопротивление, какими бы причинами оно ни было обусловлено, оказывается прямо пропорциональным скорости. И только когда скорость гораздо больше, чем при обычных колебаниях в электромагнитных приборах, появляются свидетельства в пользу того, что сопротивление пропорционально квадрату скорости.

Таким образом, мы должны исследовать движение тела под действием притяжения, меняющегося пропорционально расстоянию, и сопротивления, меняющегося пропорционально скорости.

731. Нижеследующее применение принципа Годографа, данное профессором Тэтом 1 позволяет нам очень простым способом исследовать движение такого рода при помощи равноугловой спирали.

1Proc. R. S. Edin., Dec. 16, 1867.

Пусть требуется найти ускорение частицы, которая описывает логарифмическую или равноугловую спираль, двигаясь с постоянной угловой скоростью вокруг полюса.

Эта спираль обладает тем свойством, что касательная PT образует постоянный угол с радиус-вектором PS [рис. 57].

Рис. 57

Если скорость в точке P равна v, то

v·sin

=

·SP

Следовательно, если мы проведём отрезок SP', параллельный PT и равный SP, то скорость в точке P и по величине, и по направлению будет задана выражением

v

=

sin

SP'

Таким образом, точка P' будет точкой на годографе. Но SP' есть отрезок SP, повёрнутый на постоянный угол -, так что годограф, описываемый точкой P', совпадает с исходной спиралью, повёрнутой вокруг полюса на угол -.

Ускорение точки P по величине и по направлению представлено скоростью точки P', умноженной на тот же самый фактор /sin .

Следовательно, если мы произведём над отрезком SP' ту же самую операцию поворота на угол - в новое положение SP'', то ускорение точки P по величине и направлению будет равно

^2

sin^2

SP''

,

где SP'' есть отрезок SP, повёрнутый на угол 2-2.

Проведя отрезок PF, равный и параллельный SP'', мы можем ускорение

^2

sin^2

PF

,

разложить на

^2

sin^2

PS

и

^2

sin^2

PK

.

Первая из этих составляющих есть ускорение, направленное к центру S и пропорциональное расстоянию.

Вторая составляющая направлена против скорости, и, поскольку

PK

=

2cos

P'S

=-

sin cos

v

,

это ускорение можно записать так:

– 2

cos

sin

v

.

Ускорение частицы состоит, таким образом, из двух частей, первая из которых обусловлена силой притяжения r, направленной к S и пропорциональной расстоянию, а вторая, равная -2kv, является сопротивлением движению, пропорциональным скорости, где

=

sin^2

,

k

=

cos

sin

.

Если мы положим в этих выражениях =/2, орбита становится круговой, и мы имеем =^2, k=0.

Следовательно, если сила на единичном расстоянии остаётся той же самой, то = и =sin , т.е. угловая скорость на различных спиралях при одном и том же законе притяжения пропорциональна синусу угла спирали.

732. Если мы рассмотрим теперь движение точки, являющейся проекцией движущейся точки P на горизонтальную линию XY, то увидим, что её расстояние от S и её скорость являются горизонтальными составляющими соответствующих величин для P. Следовательно, ускорение этой точки также состоит из притяжения, направленного к S и равного расстоянию от S, взятому раз, и торможения, равного скорости, умноженной на 2k.

Мы имеем, таким образом, завершённую конструкцию для описания прямолинейного движения точки, происходящего под действием притяжения, пропорционального расстоянию от некоторой фиксированной точки, и сопротивления, пропорционального скорости. Движение такой точки является горизонтальной проекцией движения другой точки, которая движется с постоянной угловой скоростью вдоль логарифмической спирали.

733. Уравнение спирали r=Ce– ctg .

Чтобы определить горизонтальное движение, положим =t, x=a+rsin , где a - значение x для точки равновесия.