Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Пусть -сила тока в произвольный момент времени, а Q - количество электричества, которое он переносит; тогда
Q
=
dt
.
(1)
Пусть M - магнитный момент, A - момент инерции магнита вместе с подвешенной аппаратурой, а -угол, который образует магнит с плоскостью катушки; тогда
A
d^2
dt^2
+
MH
sin
=
MG
cos
.
(2)
Если время прохождения тока очень мало, мы можем произвести интегрирование по t в течение этого короткого промежутка времени, не принимая во внимание изменение , и мы найдём
A
d
dt
+
MG
cos
dt
+
C
=
MGQ
cos
+
C
.
(3)
Отсюда видно, что прохождение заряда Q создаёт момент количества движения магнита, равный MGQ cos , где есть значение в момент прохождения тока. Если первоначально магнит находился в положении равновесия, мы можем положить =0, C=0.
Далее магнит свободно поворачивается и достигает отклонения . Если сопротивление отсутствует, работа, совершаемая против магнитной силы за время этого перемещения, равна MH(1-cos ).
Энергия, сообщённая магниту током, равна
1
2
A
d
dt
^2
.
Приравнивая эти величины, мы находим
d
dt
^2
=
2
MH
A
(1-cos )
,
(4)
откуда
d
dt
=
2
MH
A
1/2
sin 1/2
=
MG
A
Q
(согласно (3)).
(5)
Но время T одного колебания магнита от состояния покоя до состояния покоя равно
T
=
A
MH
1/2
,
(6)
и мы находим
Q
=
H
G
T
2sin 1/2
,
(7)
где H - горизонтальная магнитная сила, G - коэффициент гальванометра, T - время одного колебания и - величина первого максимального отклонения магнита.
749. Во многих реальных экспериментах углы максимального отклонения невелики, поэтому мы легко можем учесть действие сопротивления, ибо можем рассматривать уравнение движения как линейное уравнение.
Пусть магнит находится в положении равновесия в состоянии покоя, пусть ему мгновенно сообщена угловая скорость v, и пусть его первая элонгация равна
Уравнение движения следующее:
=
Ce
– t tg
sin t
,
(8)
d
dt
=
C
sec
e
– t tg
cos(t+)
.
(9)
Когда
t=0,
=0
и
d
dt
=
C
=
v
.
Когда
t
+
=
2
,
–
2
–
tg
=
Ce
cos
=
.
(10)
Следовательно,
–
2
–
tg
=
v
e
cos
.
(11)
Далее, согласно п. 741,
MH
A
=
^2
=
^2
sec^2
,
(12)
tg
=
,
=
T
(13)
и в соответствии с уравнением (5)
v
=
MG
A
Q
.
(14)
Следовательно,
–
arctg
=
QG
^2+^2
1/2
e
H
T
(15)
и
arctg
Q
=
H
T
e
,
G
^2+^2
(16)
что даёт выражение для величины первой элонгации через количество электричества в переходном токе и наоборот; здесь T есть полученное из наблюдений время одного колебания с учётом влияния реального затухания. При малых мы можем пользоваться приближённой формулой
Q
=
H
G
T
1+
1
2
.
(17)
Метод отдачи
750. Изложенный выше метод предполагает, что во время протекания через катушку переходного тока магнит находится в положении равновесия в состоянии покоя. Если мы желаем повторить опыт, мы должны ждать, пока магнит снова не окажется в состоянии покоя. В некоторых случаях, однако, когда мы можем создавать переходные токи равной интенсивности и можем делать это в любой момент времени по своему усмотрению, наиболее удобным для осуществления непрерывной серии измерений является следующий метод, описанный Вебером 3.
3 Gauss and Weber, Resultate des Magnetischen Vereins, 1838, p. 98.
Предположим, что мы привели магнит в состояние колебательного движения при помощи переходного тока, величина которого характеризуется значением Q. Если для краткости мы запишем
–
arctg
G
^2+^2
e
=
K
,
H
T
(18)
то первая элонгация
<