Чтение онлайн

– То есть вроде как мы делаем в наших биквадратных уравнениях?..

– Именно в этом роде. Но вот далее нас и подстерегает разочарование. В 1799 году итальянский врач и математик Руффини, занимаясь систематическим изучением перестановок, нашел и доказал теорему, что от пяти элементов (у которых будет сто двадцать перестановок) не существует таких функций, которые имели бы четыре или три значения.

А если так...

– Значит, степень уравнения нельзя понизить? ..
– воскликнул Илюша.

– Выходит, - ответил Мнимий, - что дальше уж нельзя.

С уравнением пятой степени было не просто полторы тысячи неудач, а печто более серьезное: оказалось, что в этом роде задача не только не имеет решения, но и иметь не может.

В работе Руффини еще не все было очень гладко, а через сравнительно короткий срок гениальный молодой математик норвежец Абель дал безупречное доказательство положениям Руффини. Затем Абель нашел еще новые подробности насчет алгебраических уравнений. Коротко это можно так изложить: если уравнение таково, что между его корнями существуют некоторые сравнительно несложные отношения, его можно решить в радикалах. Но, к сожалению, для уравнений выше четвертой степени такие свойства имеют многие отдельные виды уравнений, но отнюдь не все. Вскоре этой задачей занялся гениальный юный француз Эварист Галуа, погибший на поединке с наемным убийцей, подосланным подлой полицией тогдашнего реакционного французского правительства.

– 457 -

В ночь перед трагической гибелью юный математик набросал свою работу. А она увидела свет только через четырнадцать лет после того, как ранняя могила поглотила этого замечательного юношу. Ему было всего двадцать лет...

– А его работа была очень сложная?

– Даже весьма сложная!
– отозвался Мнимий.
– Многие вопросы и решения снова оказались связанными с той же самой симметрией, но в еще более хитроумном виде по сравнению с тем, о чем мы уже говорили. Введены были и некоторые новые крайне важные общие понятия, сыгравшие свою роль не только в алгебре, но обогатившие и другие разделы нашей науки. Самый процесс постепенного упрощения уравнений был изучен во всей сложности. Для целого ряда, казалось бы, неодолимых препятствий были придуманы обходные хитрые пути, а затем и они сами подверглись исследованию, изучению, так что весь этот раздел математики сам превратился в исследование того, как именно строятся методы решения задач и на чем они в сущности своей основаны. Методы Галуа дали результаты удивительные и неожиданные: если мы сейчас не только убедились на опыте, но и знаем, что с помощью линейки и циркуля невозможно решить кубическое уравнение, то доказано это было в точности только после Галуа. Уравнения любой степени, у которых все коэффициенты при неизвестном в любой степени вплоть до нулевой (то есть, значит, до свободного члена) равны единице - а это и есть общее уравнение деления круга (с одним из них мы познакомились в предыдущей схолии), - всегда решаются, потому что они могут быть сведены к целой цепи уравнений низших степеней. Это опять же до конца разъясняется тем же Галуа. Однако я могу привести только отдельные примеры, хотя и они очень убедительны. В этом направлении наука сделада гигантские шаги. И чем дальше ученый забирается в глубь строения своих методов, тем меньше ему служит то, что можно сразу охватить наглядно. Поэтому вопросы рассуждения, то есть логики, получают все большее и большее значение. Ну вот! Это приблизительно все, что мы способны вам рассказать из этой удивительной, но крайне трудной и весьма отвлеченной области науки [40] .

– Да, все-таки очень сложные формулы!
– вздохнул Илюша.

– 458 -

– Да ими и не пользуются, - отвечал Мнимий, - имеются гораздо более доступные средства в дифференциальном исчислении.

– Ну-с, молодой человек, - выговорил степенно Радикс, - голова на месте?

– Кажется, на месте, - отвечал Илюша.
– Трудно ужасно, так длинно!..

– Не так еще ужасно!
– отвечал преспокойно Радикс.
– А ты, кстати, видел, какую траекторию в пространстве описал тот советский спутник, который умудрился снять фотографию Луны с той ее стороны, которую с Земли не видно? Как ты полагаешь, очень легко было ее вычислить?.. Ну, а громадные турбины на гидростанциях, их рассчитать просто? А скоростные и высотные самолеты? А счетные электронные машины? Ведь это все необходимые и неизбежные устройства в нашем веке! А расчеты, касающиеся атома и всего его строения, так это еще во много-много раз труднее. Но люди, твои современники, одолевают! Да еще каждый день и каждый час идут вперед... Так что хочешь не хочешь, а поспевать всюду надо!

– Конечно, - покорно пробормотал Илья, - я ведь не спорю...

– Тогда чем же ты недоволен?

– Мне ужасно обидно, что я все-таки самого главного не понимаю! Не понимаю, и все!

– Ишь какой сердитый!
– заметил Радикс.
– Из-за чего ты так раскипятился?

Илюша даже раскраснелся от волнения.

– Не могу поверить, чтобы эти Мнимии были просто открытием. По-моему, они в то же время еще и чье-то изобретение...

– Видишь ли, - отвечал ему Радикс, - всякое открытие если и не изобретение, то путь к нему. Открытие явления электрической индукции кончилось сооружением динамо-машины, то есть изобретением. Оно было основано на использовании открытия об индукции. Здесь, в вопросе насчет Мнимия, дело обстоит несколько сложнее, а в общем довольно похоже. Человек, изучая алгебраические уравнения, натолкнулся на эти "странные" комплексные числа. Оказалось, что анализировать некоторые очень важные вопросы алгебры без них невозможно - это было открытие! Но в дальнейшем, когда ученые постепенно примирились с этими "странностями", оказалось, что эти замечательные орудия научного прогресса крайне важны и для техники (в электротехнике, в самолетостроении, например), и тогда комплексное число стало привычным.

– 459 -

Догадка - великое дело в науке! Но ведь догадку надо обосновать, чтобы знать, где она пригодится, а где нет. И когда начинается обоснование догадки, начинается и самое построение этого образа или понятия, тогда это логическое построение понятия в известном смысле можно назвать изобретением, например, математические обозначен и я. Понятие интеграла, о котором мы уже говорили, было найдено, то есть открыто, примерно в одно и то же время Ньютоном и Лейбницем. Но Лейбниц придумал такие удобные обозначения в этом новом разделе нашей науки, которые сразу всем очень помогли, и вот это было именно изобретением [41] .

– Так вот-с...
– промолвил Мнимий, - в заключение я должен буду еще сделать три важных замечания к нашей этой последней беседе. Первое заключается в том, что замечательные труды ученых о решениях уравнений высших степеней привели к выводу, что многие трудные вопросы по части уравнений можно уподобить двум очень простым задачам:

1) извлечению квадратного корня и 2) извлечению корня шестой степени. Первая задача не поддается никакому упрощению, тогда как вторая может быть разбита на две ступени - извлечение кубического корня, а затем из результата - извлечение квадратного. Так вот, общее решение уравнения пятой степени относится именно к первому классу задач. Второе - это то, что все подобного рода задачи очень тесно связаны с перестановками. Наконец, третье заключается в том, что вся замечательная теория Галуа в дальнейшем разрослась в целую математическую дисциплину, имеющую ныне крупнейшее значение. Хотя она и далека от непосредственной инженерной практики, но она дает математику в руки мощное орудие для решения вопроса о том, разрешима ли данная задача вообще (определенными средствами) или нет. Объектами математической мысли стали не самые числа, но операции над ними.

– 460 -

– Вот как, - сказал Илья, - пожалуй, я теперь больше спорить не буду. Кажется, теперь... ясно!

– Ну и прекрасно!
– заключил Радикс.
– Тогда давай в честь этого события споем и станцуем. Согласен?

– Еще бы!
– обрадовался Илюша.

Они встали рядом, Мнимий им хлопнул в ладоши, и вот они вдвоем пустились в пляс, припевая довольно громко:

Метод двух прямых углов - Просто превосходный метод!

Прямо вам скажу, что этот Метод двух прямых углов Всё без чисел и без слов Нам про куб расскажет этот.

Метод двух прямых углов - Просто превосходный метод!

– 461 -

замечательная тем, что представляет собой Схолию Заключительную. А что же такое "схолия"? Откуда взялось это слово?

Так вот, древнегреческое слово "схолэ" означало "досуг", то есть свободное время. А в свободное от работы время люди стали учиться и учить других. Отсюда и наше слово "школа" произошло! Кроме того, ты должен знать, что Бонавентура Кавалъери, верный и высокоученый воспитанник Галилея, в своем сочинении "Геометрия, новым способом изложенная, помощью неделимых непрерывного", напечатанном в 1635 году, изложив свои постулаты, предположения, следствия, теоремы, леммы, определения, приложения и объяснения, доказательства и опыты, нередко присоединяет к ним также и схолии, которые являются разъяснениями к изложенному, подобно тому как схолии нашей книги являются разъяснениями удивительного путешествия И. А. Камова, нашего многоуважаемого героя. Что же касается содержания этой Схолии, то в ней излагается один серьезнейший разговор между близорукой обезьяной и дальновидным вороном, которые толковали друг с другом на чистейшем арабском языке о том, что можно считать вероятным, то есть достойным веры. А вслед за этим Илюше наконец показывают то, чего oн до сих пор никак не мог увидеть, на чем наш поучительный рассказ и кончается.

– 462 -

– Пу-с, - сказал Радикс, - теперь тебе как будто ясно, что тут делает дружище Мним? Может быть, ты, кроме того, хочешь узнать, зачем он этим сейчас занимается? Ну, подожди еще немножко и все узнаешь. Идем-ка далее.

Они двинулись дальше, проходя одну за другой комнаты и залы, украшенные разными геометрическими узорами, необыкновенными телами и сложными аппаратами. Затем они прошли через огромный длинный зал, где почти беззвучно работали громадные машины такого сложного и хитрого устройства, что Радикс только рукой махнул, когда Илюша спросил его, что это такое. Так как Илюша и без того был набит по горло новой для него премудростью, он вздохнул и решил отложить знакомство со всякими этими хитростями на будущее. Но около одного тела вращения, которое вертелось на громаднейшей Центрифуге с бешеной быстротой, то вытягиваясь, то снова сжимаясь, Илюша не мог удержаться и снова спросил Радикса, что это такое.

– Это машина, которая в будущем будет изучать законы землетрясений. Покуда это еще опытная установка. Тут дело в том, что океанские приливы, как ты, может быть, уже слышал, вызываются притяжением Луны. Когда-то Кеплер так и сказал: "Не будь на свете земного тяготения, все океаны вылились бы на Луну!" Так вот, видишь ли, земная кора как бы плавает в магме. Кора эта по отношению ко всей массе Земли представляет собой тоненькую корочку. И она также испытывает весьма серьезные натяжения в результате притяжения Луны. Насколько грандиозны эти сплы, можно составить себе представление, приняв во внимание хотя бы то, что приливная волна океана у берегов Канады достигает пятнадцати метров в вышину. Понятно ли тебе, какая это должна быть сила, если она способна поднять всю необъятную громаду океанских вод на такую высоту? Так вот, существует гипотеза, что влияние этих гигантских сил испытывает и земная кора.