Чтение онлайн

Илюша немедленно написал ответ:

х = (2 + i) + (2 - i) = 2 + 2 = 4.

– Выходит, - решил он, - что искомый корень представился в виде суммы двух сопряженных комплексных чисел, а эта сумма, как мы уж знаем, есть действительное число! Значит, оно только спряталось за мнимыми числами. Но ведь должны быть и другие корни? Их ведь два еще должно быть как будто? Как их найти? Один корень мы нашли, - рассуждал Илюша, - левая часть уравнения должна состоять из трех множителей.

– 438 -

Но из нашего решения ясно, что один из множителей будет равен

(x - 4);

значит, если я перенесу все члены нашего уравнения влево и разделю затем эту левую часть на этот одночлен, получится квадратное уравнение, а из него можно раздобыть остальные два корня:

(x3– 15x - 4)/(x - 4) = x3 + 4x + 1

Илюша еще немного покопался с вычислениями и написал:

x1 = 4,000; x2 = -2 + √3; x3 = -2 - √3

или приближенно:

х2 = -0,268; х3 = -3,732.

– По теореме Виеты выходит. И сумма корней равна нулю! Попробую проверить значения корней. Для этого я буду придавать иксу целочисленные значения от минус шести до плюс шести и посмотрю, где кривая пересечет ось абсцисс.

Илюша так и сделал. Получилась табличка, а за ней и кривая, которую можно разглядеть на чертеже [38] .

– 439 -

– Ишь как хорошо вес выходит!
– воскликнул Илюша, закончив табличку.
– На четверке нуль...

– Сделаешь верно, и получается хорошо, - заметил Радикс.

– А те два других корня по чертежу тоже очень хорошо подходят. В порядке! И действительно, кривая три раза пересекает ось абсцисс.

– Как ей и положено, - закрепил Радикс.
– Рафаэль Бомбелли был человек способный, ученый и даже удачливый: говорят, именно ему удалось разыскать на полках громадной Ватиканской библиотеки рукопись творений грека Диофанта Александрийского, с которых и началась теория чисел, высшая арифметика. Возможно, что Диофант в решении с Кардановой формулой навел Рафаэля Бомбелли на кое-какие полезные мысли.

Тут Радикс продекламировал такой стишок:

– Там, где быть им надлежит, там как раз и пробежит!
– поддакнул Мнимий.

Радикс проговорил скороговоркой еще стишок:

И все весело рассмеялись. А Мнимий добавил:

– Надо вам знать еще, что неожиданные и своеобразные разоблачения Бомбелли в те времена скорее привели в недоумение ученых, чем направили их: к новым исследованиям.

И когда через некоторое время Виета обнаружил, что "неприводимый" случай Кардана можно разрешить тригонометрическим путем (как решение задачи о трисекции угла), то это, наверно, показалось облегчением (впрочем арабские математики нашли это решение примерно еще за целый век до Виеты). Однако трудно сказать, имело ли это какое-нибудь значение, ибо замечательная работа Бомбелли в свое время не была напечатана, хотя была известна и ее изучали крупные ученые.

– 440 -

Любопытно, что в те времена были уверены, что Виета открыл что-то совершенно новое, хотя на самом деле в решении Виеты новыми были только подстановки.

– Но я не знаю, как у Виеты получилось с трисекцией угла и с тригонометрическим решением.

– Неужто?
– удивился Радикс.
– Так сейчас узнаешь!

Виета напал на счастливую мысль привлечь к вопросу о решении кубического уравнения тригонометрические функции. Мы как будто в прошлой схолии рассматривали, что получается, если возвести комплексное число в квадрат. Из этого примера ясно, кстати, что одно равенство комплексных чисел равносильно двум равенствам действительных, ибо действительную и мнимую часть правой части равенства можно рассматривать по отдельности. Согласен?

. Илюша задумался.

– Кажется... да!

– Если так, то мы начнем с формулы для косинуса двойного угла. Так или нет? Помнишь?

– Так, как будто. И она будет:

cos 2α = cos2 α - sin2 α.

– Хорошо. Не спорю. А теперь перемножение комплексных чисел (единичных комплексных векторов) из предыдущей схолии повторим еще раз с тем отличием, что наши комплексные множители будут иметь разные аргументы, то есть разные углы. Что мы получим?

Илюша тотчас выполнил это умножение и получил.

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β.

– Ну, а теперь у нас есть все для того, чтобы на основании этих двух формул написать еще формулу для косинуса троекратного угла, то есть для cos Ba + а), или в результате cos Зα.

На этот раз Илюша не очень долго возился, но все-таки помучился. Радикс напомнил ему, что ведь "без труда и рыбку не вытащишь из пруда", а не то что косинус троекратный!

И наконец получилась вот какая формула:

cos Зα = 4 cos3 α - 3 cos α.

– Вот теперь все, что надо, у нас есть, и мы можем спокойно продолжать наши рассуждения. Попрошу вас только еще заменить cosa на х и написать в обычном для уравнения виде так, чтобы правая часть равнялась нулю, тогда как cos За будет у нас называться а.

– 441 -

Это задание было совсем уж простое, и Илюша написал.

4x3– 3x - a = 0

– Так ведь это получилось кубическое уравнение и как раз такое, какое мы получали, когда уничтожили член с неизвестным во второй степени.

– Совершенно правильно!
– отвечал Мнимий.
– Представьте, эта же самая блестящая мысль пришла в голову и славному Франциску Виете! У вас, прямо скажу, был довольно способный предшественник!.. Теперь смотрите внимательно. Ведь из этого уравнения мы по данному углу можем найти угол в три раза меньший, а следовательно, перед нами способ для решения задачи древности - трисекции угла, или деления любого угла на три равные части. Заметьте: любого, ибо некоторые утлы, как, например, прямой угол, делятся на три части очень просто, циркулем и линейкой. Правда, обычно берут не косинус, а синус, но перейти от того к другому не так трудно. А в общем, получается доступный способ для решения кубического уравнения, вернее, одного из его видов. Вот какие разнообразные выводы получаются при рассмотрении решения кубического уравнения. При этом очень важно еще и то, что решение Виеты как раз и есть то самое, которое разъясняет этот трудный случай, когда действительные корни скрываются под личиной мнимых (этот случай, как мы уж говорили, Кардан называл "неприводимым"). И отсюда Виета вывел, что либо кубическое уравнение получается наподобие двух пропорциональных (как при двоекубии!), и тогда у него только один действительный корень, либо они сводятся к трисекции угла, и тогда все три корня действительные. Входить в большие подробности я не буду; скажу только, что этим тригонометрическим способом Виеты можно пользоваться именно тогда, когда под квадратными корнями в формуле Кардана стоят отрицательные числа. В таком случае свободный член уравнения q можно выразить через синус некоторого троекратного угла, а затем, пользуясь тригонометрическими таблицами, без особого труда найти и самые корни. Все это, разумеется, на практике не очень удобно, но тут смысл не в том, чтобы добиться решения кубического уравнения (которое с помощью методов высшего анализа находится скорей и проще), а в том, чтобы рассудить о сути соотношений в алгебраических вопросах.