Чтение онлайн

– 430 -

– С логарифмами...
– подсказал Илюша.

– Точно, - отвечал Мнимий, - именно с логарифмами.

Следовательно, если мы сумеем данное уравнение привести к такому виду, ыы уже никаких особых препятствий не встретим. Уравнение первой степени приводится к двучленному виду проще простого: сделай приведение, перенеси известные в одну сторону, неизвестные в другую - и готово. Посмотрим теперь, как этого достигнуть с квадратным уравнением, которое нам тоже хорошо знакомо. Любое квадратное уравнение можно представить в таком виде:

х2 + рх + q = 0,

ибо, если коэффициент при х2 не равен единице, делим вес уравнение на этот коэффициент - и дело в шляпе! Как быть далее? А что, если уничтожить второй член уравнения с иксом в первой степени? Тогда останется икс в квадрате и свободный член, а нам как "раз и надо получить двучленное уравнение.

Введем новую неизвестную, допустив, что наш икс таков:

x = y + h.

– А что такое h?
– с удивлением спросил Илюша.

– Пока что h совершенно произвольное число, но мы сейчас выясним точно, в каком виде оно может нам помочь. Подставим в уравнение новое значение икса и сделаем приведение. Это нетрудно! Получаем:

(y + h)2 + p(y + h) + q = 0;

y2 + y(2h + p) + h2 + hp + q = 0.

Теперь становится ясно: чтобы уничтожить второй член уравнения, надо положить, что коэффициент при иксе в первой степени равен нулю, то есть:

2h + р = 0;

h = -p/2

Подставим в полученное уравнение. Получаем:

y2 + y(-2p/2 + p) +p2/4 - p2/2 + q;

после приведения:

y2 = p2/4 - q

– 431 -

по так как х + у = h, то находим и решение:

x = -p/2 ± √(p2/4 - q)

Следовательно, наш этот способ - уничтожить один из членов уравнения - вполне целесообразен. Теперь попробуем разобрать, как было решено впервые алгебраически, или, как говорится, "в радикалах", то есть с помощью извлечения корней необходимой степени, кубическое уравнение. Сделано было это в шестнадцатом веке в Италии учеными города Болоньи Ферро, Тарталья и Кардано. Между двумя последними шел долгий спор о том, кто первый сделал это открытие, но мы в эти ненужные споры забираться не будем, тем более что с современной точки зрения все решение не так уж сложно.

– А все-таки, наверно, трудно...
– грустно заметил Илюша.

– Не очень! Конечно, поскольку само кубическое уравнение сложнее квадратного, то весь ход решения похитрей. Но тут дело в том, что выясняются некоторые особые подробности. .. Итак, у нас имеется кубическое уравнение, где коэффициент при старшем члене уже превращен в единицу:

х3 + ах2 + bх + с = 0.

Цель снова будет та же самая: придумать такие преобразования, чтобы превратить данное уравнение в уравнение с меньшим числом членов, ибо, как мы видели на примере квадратного, этот прием упрощает задачу. Сперва мы будем поступать так же, как с квадратным уравнением. Положим снова:

х = у + h

и подставим это в наше уравнение. Получим после небольших переделок

у3 + (3h + а) у2 + (3h2 + 2ah + b) у + h3 + ah2 + bh + с = 0.

Теперь снова постараемся обратить коэффициент второго члена (при игреке в квадрате) в нуль, то есть положим, что

(3h + a) = 0; h = - a/3,

откуда

у3 + (-3a/3 + а) у2 + (3a2/9 - 2a2/3 + b) у + h3 + ah2 + bh + с = 0.

– 432 -

или, сделав приведение:

у3 + (-a2/3 + b) у + (2a3/27 - ab/3 + с) = 0.

Теперь для сокращения письма положим:

(-a2/3 + b) = p; (2a3/27 - ab/3 + с) ] = q

аb и запишем окончательно результат в таком виде:

y3 + py + q = 0.

(Если q = 0, то все просто: y1 = 0, у2,3 = ±√-p)

При q ф 0 результат, как ты видишь, разумеется, несколько менее утешителен, чем в случае квадратного уравнения, ибо у нас не два, а три члена. Но как-никак определенное упрощение достигнуто. Как же теперь быть далее? Ясно, что нужно придумать способ, который дал бы возможность обратить выражение ру в нуль, после чего мы и получим двучленное уравнение, то есть то же самое, что было получено для квадратного.

И вот как раз на этом месте болонцам пришла в голову счастливая мысль сделать еще одну подстановку: положить, что у в последнем уравнении можно представить в виде суммы:

у = u + v.

И опять-таки эти величины ими пока что совершенно произвольные. Мы только одно можем сказать, что сумма их есть корень нашего уравнения, который не равен нулю.

– А почему он не равен нулю?

– Сейчас рассмотрим! Попробуем подставить. Получаем:

(u + v)3 + р (u + v) + q = 0.

Смотрите-ка! Теперь видно, что сумма (u+v) не может быть равна нулю, потому что тогда и число q будет равно нулю, а число q, свободный член уравнения, не равно нулю. Теперь откроем скобки и кое-что сгруппируем:

(u3 + v3) + (u + v) (3uv + p) + q = 0.

Такая форма уравнения уже подает нам некоторые надежды!

– 433 -

Может быть, нам удастся уничтожить второй член? Положить, что u + v = 0, мы, как сказано, не можем, но зато спокойно можем допустить, что

3uv + р = 0;

uv = -p/3

но в таком случае наше уравнение превращается в такое:

u3 + v3 = - q.

Следовательно, мы получили два уравнения. Одно из них дает произведение новых чисел u и v, а другое их сумму. Правда, они в разных степенях, но никто не помешает возвести это произведение тоже в куб. Далее это создаст нам некоторые затруднения, но мы как-нибудь их одолеем. И вот перед нами два уравнения:

u3v3 = - p3/27; u3 + v3 = - q.

А теперь скажите, юноша, как бы вы дальше поступили с этими уравнениями? Отвечайте, куда они просятся?

– В квадратное уравнение!
– вдруг выпалил почти в отчаянии Илюша.
– Сумма и произведение даны, значит, это квадратное уравнение... по теореме Виеты.

– Очень хорошо!
– отозвался Мнимий.
– Так вот: теперь должно быть ясно, что болонцы действительно напали на очень счастливую мысль. Разумеется, им не удалось свести кубическое уравнение к линейному (то есть первой степени), как сводили квадратное, но ведь этого и ожидать было бы странно, ибо куб все-таки постарше квадрата и, конечно, поупрямей его! Но вы должны еще иметь в виду, что открытие этого решения кубического уравнения в Италии шестнадцатого века было поистине важным историческим событием! Оно означало, что новая Европа вышла на новый рубеж, она уже освоила наследие древних ученых и теперь сама делает недоступные для древности открытия. Общественные условия настолько изменились, что возникла возможность для новой науки. Разумеется, ученый работает прежде всего в интересах науки. Но он может работать для ее развития только тогда, когда общество, в котором он живет, поддерживает его, другими словами, когда люди верят в необходимость его трудов.