Чтение онлайн

– А ведь в самой своей сущности я тоже альфа!

Илюша взглянул на него и сказал:

– Когда мы разбирали пример Бомбелли, я, кажется, понял, что под корнями в формуле Кардана стоят сопряженные комплексные числа... Ну вот, отсюда и альфы, чтобы получать один за другим все значения корня из комплексного числа! Теперь я как будто разобрался. Значит, Лагранж дал формулу Кардана но просто в виде результата двух подстановок, а так, как она складывается из самых корней.

– 450 -

И тут альфовый снежок стал стихать.

– Так-с...
– произнес наставительно Мнимий.
– Это похоже на дело. Но теперь на минутку давайте снова вернемся к квадратному уравнению. Вы этого не бойтесь! Поверьте, что все те крупные ученые, которые это разбирали, тоже не раз вспоминали о квадратном уравнении. Так вот вам еще один вывод для формулы решения квадратного уравнения, причем чрезвычайно полезный. Нам ведь хорошо известно, что по формулам Виеты сумма корней квадратного уравнения (х2 + рх + q = 0) равняется коэффициенту при неизвестном в первой степени с обратным знаком, то есть:

х1 + х2 = -р.

Возьмем еще одно выражение, составленное из тех же корней, только не сумму, а разность, и возведем ее в квадрат:

(x1– x2)2 = (x1 + x2)2– 4x1x2 = p2– 4q

Отсюда сразу можно написать, что

x1 + x2 = - p

x1– x2 = ± √( p2– 4q)

Сложим эти два равенства и сейчас же получим известную формулу решения квадратного уравнения. Не так ли?

– Так, конечно, - отвечал Илюша.
– Из суммы этих выражений один корень получаем, а из их разности - другой.

Все понятно. Выходит, что мы этим способом получили два уравнения первой степени. Раз нам нужно два решения, то мы можем к ним прийти через два уравнения первой степени... То есть я не знаю, всегда ли так должно получаться, но во всяком случае с квадратным уравнением именно так и получается...

– Допустим...
– отвечал Мнимий.
– Но лучше сказать, пусть так будет вплоть до первого противоречия с этим предположением либо допущением.

– А если встретится противоречие?

– 451 -

– Тогда посмотрим. Попробуем его обойти, а если не удастся, придется видоизменять наше допущение. Когда Лагранж, пытаясь обнаружить общее правило из разных решений алгебраических уравнений, нашел наконец свою замечательную формулу, он заметил, что три корпя в ней надо брать в некотором вполне определенном порядке, а это натолкнуло его на новые плодотворные опыты. Если взять все три корпя кубического уравнения, то есть х1, х2 и х3, то, если их брать не только в той последовательности, которая оказалась необходимой - вместе с нашими помощницами, альфами, - но и во всех остальных...

– Интересно, - заметил Радикс, - а сколько будет этих всех остальных?

И оба, Радикс и Мнимий, внимательно посмотрели на нашего героя, Илью Алексеевича.

– Остальных последовательностей корней?
– неуверенно повторил мальчик.
– Не понимаю вопроса... Или, может быть, о порядке вы говорите? Тогда вы меня о перестановках спрашиваете?..

Не отвечая ни слова, Радикс и Мнимий все так же пристально смотрели на Илюшу, который чувствовал себя под их взглядами не в своей тарелке.

– ... и уж если это так, - в полной неуверенности продолжал он, - то раз всего три корня, то, как их ни переставляй, выйдет только шесть различных последовательностей. И все.

Опять полная тишина. Вдруг Илюша почувствовал, что в его левой руке оказалась маленькая коробочка, и действительно, это был просто самый маленький Дразнилка с тремя шашками. Только на шашках были изображены символы корней:

Илюша начал машинально двигать шашечки, но ничего нового или интересного не обнаружил. Да, действительно, всего получалось шесть перестановок! Но он это давно знал:

(x1 x2 x3); (x2 x3 x1); (x3 x1 x2);

затем опять получается то же самое. А если переставить две шашки, ну, скажем, x2 и x2, то получатся еще три случая:

(x2 x1 x3); (x1 x3 x2); (x3 x2 x1);

а потом снова то же.

– Шесть, - согласился Мнимий, - спору нет. Но вам пришлось однажды что-то менять в первом расположении. Это как надо понимать?

– 452 -

– Это как бы два круга Дразнилки; первый можно назвать четным кругом, а второй - нечетным, потому что в первом случае одна шашка постоянно обходит две шашки, как и полагается в Дразнилке, а во втором сначала обходят одну шашку, и порядок меняется. Перейти от одного круга к другому, не вынимая одной шашки из коробочки, нельзя.

При перестановках каждый раз первая шашка попадает в конец направо.

– Вес верно, - подтвердил Мнимий.
– Итак, два круга, причем один в другой непосредственно не переходят..

– Да, и если отразить какую-нибудь перестановку первого (четного) круга в зеркале, то выйдет перестановка второго круга (нечетного).

– Хорошо, - подхватил Мнимий, - это важное замечание.

Мы можем отметить, что названные вами два круга Дразнилки-Малого зеркально симметричны.

– Похоже, что так, - неуверенно произнес Илюша.

– Мы встретились с явлением, которое называют симмеmрией. Вы ведь знаете, что такое преобразование?
– спросил Мнимий.

– Да, конечно, - отвечал Илюша, - например, подобие. Потом еще умножение на комплексный вектор, как мы уже в прошлой схолии рассматривали, подобие и поворот... А еще у нас дома есть подставка для чайника. Она раздвижная - может быть квадратом, а потянешь за уголки, получается ромб. Папа говорит, что это преобразование...

– А по-твоему, это что?
– спросил Радикс.
– Из квадрата - ромб, и обратно. Чем не преобразование? Такие преобразования называются аффинным и. Если бы на квадрате был нарисован круг, что бы ты из него получил при аффинном преобразовании?

– Может быть, эллипс?
– неуверенно ответил Илюша.

– А почему бы и нет?

– Я - "за"!
– отвечал храбрый Илья.

– Присоединяюсь, - заключил Радикс.

– Так вот, - снова начал Мнимий, - чтобы ответить на вопрос, что такое симметрия, необходимо и ее тоже рассматривать как некоторое преобразование. У нас, например, есть равнобедренный треугольник; пусть его основание не равно одной из его сторон, значит, он симметричен относительно своей высоты; при повороте на 180° вокруг высоты он совместится сам с собой. Разумеется, мы не принимаем в расчет, какой стороной он к нам повернут. Равносторонний треугольник симметричен не только относительно высоты, но относительно каждой из своих высот (они же медианы и биссектрисы).