Чтение онлайн

Осевые стрелки тоже сделались соответственно короче.

– Ну-с, - сказал Мнимий Илюше, - вы ничего не замечаете?

– Не знаю, - отвечал Илюша.

Тогда Вектор-Наклонная-Стрелка быстро повернулся против часовой стрелки, и кончик его туфелек начертил круг.

– А теперь?
– спросил Мнимий.

Картина перед Илюшей несколько изменилась. Линии осей, уходившие за черту круга, исчезли. Все линии стали очень тоненькими, исключая проекцию Вектора-Наклонной-Стрелки на действительную ось и того перпендикуляра, который опускался от конца Вектора на конец этой проекции. Эти линии, наоборот, стали очень толстыми и черными.

– Не узнаете?
– спросил Мнимий.

– Узнаю как будто, - сказал Илюша.
– Это синус и косинус.

– Ага!
– вскричал Мнимий.
– Они самые. Ну-ка, прикиньте, что бы это могло значить алгебраически? Как выходит, что проекции единичного вектора суть синус и косинус?

– Потому, вероятно, - отвечал Илюша, - что синус в квадрате и косинус в квадрате, как катеты прямоугольного треугольника, равны гипотенузе в квадрате, а она у нас равна единице. Радиус ведь и есть единица. Вектор в данном случае и есть радиус.

– Ну что ж, - отвечал Мнимий, - вы правы. Но давайте разберемся в этом. Если нам дан на комплексной плоскости, которую вы видите сейчас перед собой, некий комплексный вектор, то ответьте, чем он, по-вашему, отличается от обыкновенных чисел?

– Он как сила в механике, - ответил Илюша, =- имеет направление.

– 399 -

Мнимая ось

– Мне очень нравится ваш ответ, - вежливо отвечал Мнимий, - но давайте посмотрим еще на наш чертеж и разберем все подробней. Итак, значит, длину вектора мы...

– ... определяем по теореме Пифагора, - подхватил Илюша.

– Любого вектора?

– Любого.

– Напишите!
– сказал Мнимий.

Илюша написал:

r = √(a2 + b2).

Что это за линии OB и BA?

Кто скажет?

– Отменно!
– произнес Мним.
– Далее, если вектор наклонен по отношению к положительному направлению вещественной оси под углом φ, то как бы вы определили проекции вектора на оси, исходя из длины его и данного угла?

– По-моему, надо вот как написать:

а = r cos φ;

b = r sin φ.

– Справедливо! А что если нам теперь взять наш вектор в обычной форме:

a + bi

и подставить в его выражение новые значения для а и b?

а + bi = r cos φ + (r sin φ) i = r (cos φ + i sin φ).

– Теперь, - заявил Мнимий, - получилась так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.

Ясно, что множитель перед скобкой есть длина вектора, или его модуль. А что же стоит в скобках?

– 400 -

Угол с положительным направлением вещественной оси определяет направление вектора.

– Мне кажется, что это тоже вектор.

– Справедливо. А длина его?

– Равна единице.

– Точно. Потому он и называется единичным вектором.

А величина, определяющая направление вектора, именуется его аргументом. Очевидно, О любой вектор можно изобразить, выбрав соответствующий аргумент и приличный случаю модуль.

– Ясно, - отвечал Илюша.
– Умножил на сколько надо и получил из единичного вектора такой, какой требуется.

– Точно, правильно, прекрасно!
– произнес Радикс.

– В таком случае давайте рассмотрим, что будет с единичным вектором, если его умножить на самого себя:

(cosφ + i sin φ) (cosφ + i sinφ) = (cos2φ-sin2φ)+2i sinφ•cos φ.

– Ну, Илюша, - сказал Радикс, - глянь-ка повнимательней: тебе эта формула ничего не говорит?

Илюша пожал плечами.

– Тогда вот что, - сказал Мнимий Радиксович.
– Может быть, в дальнейшем вы заглянете в учебник тригонометрии и узнаете, что разность квадратов косинуса и синуса есть косинус двойного угла φ, то есть угла, равного двум φ. А удвоенное произведение косинуса φ на синус φ есть аналогично синус угла двух φ. Если записать, то выйдет:

Минуя некоторые длинные выкладки, сделаем такое общее заключение: возвести единичный вектор в степень n значит увеличить его угол в n раз. Вот что означает геометрически возведение единичного вектора в степень.

– Как будто, - сказал очень нерешительно Илюша, - я это где-то даже видел.

– 401 -

– Весьма вероятно!
– подхватил Мнимий.
– И увидите, наверно, еще не раз. Это ведь не так трудно проверить. Допустим, что наш единичный вектор наклонен к положительному направлению действительной оси под углом в сорок пять градусов. Тогда его косинус, то есть его проекция на действительную ось, равен...

– ... половине корня из двух. Такой же и синус будет.

– Давайте умножим такой вектор на самого себя.

Илюша взял мел и перемножил

OA = 1; AB = sinα; OB = cosα

– Получилось одно i, - сказал Илюша в некотором недоумении.
– Что это за вектор, у которого только одно i осталось?

Затем Илюша внимательно посмотрел на чертеж.

– А-а!
– сказал он.
– Понял! Это единичный вектор, направленный прямо по мнимой оси. Единичный он потому, что около i стоит множителем единица. А так как мнимая ось перпендикулярна к действительной, то, значит, этот вектор образует с ней угол в девяносто градусов. И выходит, что действительно угол удвоился.

– А вектор?

– А вектор повернулся против часовой стрелки на сорок пять градусов. А если еще раз умножить? Можно, я попробую?

– Сделайте ваше одолжение!
– отвечал Мнимий.

Илюша умножил еще раз. Вышло:

– Что-то я не пойму, - сказал Илюша.

Но на чертеже он увидел, что вектор повернулся теперь на 135° по отношению к положительному направлению действительной оси, н, следовательно, к 90° прибавилось еще 45°.

– А ведь верно!
– сказал Илюша.

– 402 -

– Ну вот. Половина дела сделана, - сказал, улыбаясь, Мнимий.
– Теперь вы поняли, почему мы можем так поворачиваться вокруг начала координат. А теперь решим обратную задачу. Что значит извлечь корень из комплексного числа? Поскольку возведение в степень и извлечение корня суть обратные действия, мы можем считать, что и в области комплексных чисел остается в силе определение корня как обратного действия. А если это так, то как теперь извлечь корень из единичного комплексного вектора?