Чтение онлайн

Теоретически все двадцать приведенных ниже примеров возможны:

(w1w2b1), (w1w2b2), (w1w2b3)/ (w1w2b4) – 4 примера, в которых 2/з шаров являются белыми.

(w1b1b2), (w1b1b3), (w1b1b4), (w1b2b3), (w1b2b4), (w1b3b4), (w2b1b2), (w2b1b3), (w2b1b4), (w2b2b3), (w2b2b4), (w2b3b4) – 12 примеров, в которых 1/3 шаров – белые.

(b1b2b3), (b1b2b4), (b2b3b4), (b1b3b4) – 4 примера, в которых ни один из шаров не является белым.

Если каждый из этих примеров имеет ту же вероятность извлечения, что и все остальные, и если извлечения являются независимыми, то в случае очень большого количества извлечений 1/5 раз мы будем делать вывод о том, что две третьих шаров в урне являются белыми; 1/5 раз мы сделаем вывод о том, что все шары в урне являются черными; и 1/5 раз мы заключим, что одна треть шаров в урне – белые. Иными словами, мы придем к правильному заключению 3/5 раз, т. е. мы будем приходить к истинному суждению о количестве белых и черных шаров чаще, чем к ложному. Следовательно, если бы мы не знали состава содержимого урны и решили вывести его из примеров, то из приведенной иллюстрации видно, что, применяя указанную процедуру, при заданных условиях мы будем наталкиваться на истину чаще, чем на ложь.

Эффективность данного метода зависит от двух вещей.

1. Содержимое урны должно обладать некоторой определенной природой. Так, в урне должны содержаться шары различимых цветов, и соотношение белых цветов к черным также должно быть определенным.

2. Примеры должны выбираться произвольно, чтобы в долгосрочной перспективе можно было извлекать каждый из возможных примеров с одной и той же относительной частотой. Если выполняются данные условия, то указанный метод способен помочь нам установить приблизительный состав содержимого урны, поскольку этот метод является по своей сути самокорректирующим. Если бы мы выбрали пример, в результате которого заключили бы, что содержимое урны состоит только из черных шаров, то сам этот метод исправил бы наше суждение. Можно доказать, что если мы будем продолжать извлекать по три шара и число этих извлечений будет очень большим, то число примеров, указывающих на правильный состав содержимого урны, будет намного большим, чем число остальных примеров.

Этот тривиальный пример может послужить в качестве модели для общего процесса отбора подходящих образцов для широкого спектра случаев исследования природы. Сам процесс, разумеется, является гораздо более сложным и требует выполнения большого количества специальных условий (которые исследуются в прогрессивных исследованиях в области статистики). Отбор примеров заключается в вынесении суждения о том, что природа исследуемой совокупности такая же, как и природа рассматриваемого примера. Каждый проводимый нами эксперимент относительно связи свойств является одним примером из неисчерпаемого множества возможных экспериментов, которыми может исследоваться природа.

Следует, однако, отметить, что примеры, выбираемые из широкого класса явлений (large-scale samplings), позволяют получить лишь приблизительные заключения. Так, если большая совокупность объектов М (например, отдельных людей) обладает в пропорции r некоторым свойством q (например, умопомешательством), то тогда, в случае если нам бы понадобилось выбрать из нее сравнительно небольшое число объектов Р , эти объекты могли бы обладать свойством q в пропорции r '. К ак правило, r ' не будет равно r . Н о по мере того как мы будем извлекать примеры Р , число примеров, обладающих свойством q в пропорции, похожей на пропорцию исходной совокупности, будет расти. Следовательно, мы можем умозаключить:

Определенная пропорция ( r ' процентов) примеров Р обладает свойством q .

Примеры Р представляют подходящий образец большой совокупности М .

Вероятно, что приблизительно та же пропорция ( r ' процентов) примеров совокупности М обладает свойством q .

Заключение является вероятностным относительно посылок, поскольку способ, по которому отбираются Р, в долгосрочной перспективе приведет к тому, что они станут репрезентативными примерами, даже несмотря на то, что любой отдельный пример будет совершенно нетипичным.

Рассмотрим природу так называемого рассуждения по аналогии. Мы строим умозаключение по аналогии, когда говорим, что поскольку планеты Меркурий и Венера схожи с планетами Земля, Марс, Юпитер и Сатурн в том, что вращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в том, что почти являются сферами и светят отраженным светом, то они также схожи с упомянутыми четырьмя планетами и в том, что вращаются вокруг своей оси. Для обсуждения данного вида умозаключения полезно использовать некоторые из определений, предложенных Дж. М. Кейнсом.

Когда набор объектов, например воронов, обладает общим свойством, скажем, чернотой, можно сказать, что эти объекты являются аналогичными в отношении указанного свойства и данное свойство является аналогией для этих вещей. Все известные общие свойства некоторого набора объектов будут называться известной положительной аналогией, а все общие свойства, независимо от того, известны они или нет, будут обозначаться как общая положительная аналогия. Набор объектов, не обладающих никаким общим свойством, будет называться отрицательно аналогичным в отношении этого свойства. Так, муж и жена отрицательно аналогичны относительно свойства «быть мужчиной». Общая отрицательная аналогия и известная отрицательная аналогия определяются сходным образом. Когда при анализе некоторого набора объектов нам предлагается некоторое общее суждение, то мы рассматриваем именно неизменную связь одной части положительной аналогии с другой частью положительной аналогии. Так, когда мы рассматриваем число воронов и приходим к суждению «все вороны черны», одной частью положительной аналогии являются анатомические свойства, подпадающие под определение термина «ворон», а другой частью – чернота. Назовем первое свойство обозначающей аналогией, а второе свойство – обозначаемой аналогией. Когда мы хотим установить некоторое общее суждение, мы стремимся показать, что обозначающая аналогия неизменно сочетается с обозначаемой аналогией. Суждение «все люди смертны» может быть выражено как «все объекты, обладающие обозначающей аналогией «быть человеком», также обладают обозначаемой аналогией «быть смертным»».

Вполне ясно, что взятые вместе обозначающая и обозначаемая аналогии никогда не исчерпывают ни общую положительную аналогию, ни даже известную аналогию. Свойство быть человеком и свойство быть смертным не исчерпывают всех присущих людям общих свойств. Так, свойство располагаться на поверхности земли и свойство быть ростом менее десяти футов не относятся к определению человечества; однако они являются частями известной положительной аналогии. Таким образом, мы видим, что общее суждение не распространяется на всю общую положительную аналогию. Та часть, которая остается не включенной ни в обозначающую, ни в обозначаемую аналогию, рассматривается как нерелевантная. Из того, что не все свойства, общие для конечного набора объектов, сочетаются неизменным образом, следует, что некоторые выборки обозначающих аналогий являются неудовлетворительными, поскольку им не всегда сопутствуют обозначаемые аналогии. Цель науки заключается в обнаружении в наборе рассмотренных объектов тех частей из общей положительной аналогии, которые связаны неизменным образом.

Теперь мы можем вернуться к примеру рассуждения по аналогии. Меркурий и Венера обладают аналогией с четырьмя другими планетами, а именно: они вращаются по эллиптической орбите вокруг Солнца, имеют почти сферическую форму и т. д.; это – обозначающая аналогия. Четыре другие планеты также обладают общим свойством вращения вокруг оси; это обозначаемая аналогия. Мы заключаем, что Меркурий и Венера обладают остающейся обозначаемой аналогией (т. е. вращаются вокруг оси). Очевидно, что правильность этого умозаключения зависит от суждения «все планеты вращаются вокруг своей оси». Истинность данного суждения, однако, остается неизвестной. Но для того чтобы ее предполагать, у нас есть следующее основание: считается, что Земля, Марс, Юпитер и Сатурн представляют случайный пример из класса планет; этим четырем планетам свойственно вращение вокруг оси; следовательно, вращение вокруг оси характеризует все планеты. Данное заключение является правдоподобным относительно основания и не является достоверным по причинам, которые мы уже рассмотрели. С определенной долей вероятности мы можем заключить, что поскольку Меркурий и Венера обладают всеми обозначающими аналогиями, которые присущи всем другим планетам, то они также вращаются и вокруг оси. Видно, что рассуждение по аналогии является примером правдоподобного вывода, который зависит от отбора подходящих образцов.

Наша способность на ежедневном уровне решать множество разных задач зависит от нашей способности отличать только те качества и параметры, которые достаточно резко отграничены друг от друга. Сегодня холодно, и поэтому мы надеваем пальто; в другой день тепло, и мы оставляем пальто дома. Эта подушка – жесткая; мы меняем ее на ту, которая мягкая. Одна пища – сладкая, а другая – кислая; мы делаем выбор согласно своим предпочтениям.

Однако даже в обыденной жизни зачастую необходимо выносить суждения относительно качеств, которые не столь четко отграничены друг от друга. Нам могут сказать: «Пойдите на курс профессора А вместо курса профессора В; профессор А легче, чем профессор Б». «Путешествуйте на электричке; она менее заполнена, чем метро». «Покупайте кофе марки Х; он свежее, чем кофе марки Y». Подобные предписания являются для нас значимыми, поскольку, несмотря на отсутствие ясно отмеченных различий, мы, тем не менее, без труда усматриваем различие между «легким» и «сложным», «более заполненным поездом» и «менее заполненным поездом», между «свежим» и «несвежим». Сходным образом в науках суждения, утверждающие качественные различия, являются первыми результатами исследования. Примерами таких качественных суждений являются суждения о том, что планеты движутся между неподвижными звездами, о том, что железо расширяется при нагревании, или о том, что дети похожи на своих кровных родственников.