Чтение онлайн

Нам следует остерегаться распространенной ошибки. Часто считается, что возможность приписывания числовых значений различным степеням качества говорит о том, что эти различные степени всегда соотносятся друг с другом одним и тем же образом, подобно соотношению между приписываемыми им числами. Это серьезная ошибка, которая происходит из мнения о том, что измерение состоит только из приписывания чисел. Мы увидим, что не все качества могут измеряться в одном и том же смысле. Так, когда мы говорим, что один бак содержит 100 кварт воды, а другой – 50 кварт, то на основании этого можно, как мы скоро увидим, утверждать, что первый бак содержит в два раза больше воды, чем второй. В этом случае соотношение объемов такое же, как и соотношение чисел. Однако, когда мы говорим, что в один день температура равняется 100°F, а в другой день – 50°F, можно ли сказать, что в первый день температура была в два раза выше, чем во второй? Или же когда мы обнаруживаем, что IQ одного студента равняется 100, а другого – 50, значит ли это, что первый студент в два раза умнее второго? Анализ условий измерения покажет, что последние два утверждения не имеют значения.

Нам следует обратить внимание на то, что числа могут использоваться, по крайней мере, тремя различными способами: 1) как ярлыки или идентифицирующие метки, 2) как знаки, обозначающие положение определенной степени качества в некоторой последовательности таких степеней, и 3) как знаки, обозначающие количественные отношения между качествами. В некоторых случаях числа могут выполнять все три функции сразу.

1) Числа (номера), приписываемые заключенным или вагонам поезда, используются только в качестве удобного способа именования этих объектов. Числа удобнее вербальных имен, потому что с помощью чисел можно легко поименовать любого нового появившегося в группе индивида, просто взяв число, следующее по порядку за последним использованным таким образом числом. Когда числа используются для этих целей, большинство людей считает, что нет никакого соответствия между отношением между перечисляемыми объектами и отношением между приписываемыми числами. Заключенный номер 500 не является в пять раз опаснее или безнравственнее, чем заключенный номер 100. Иногда неверно даже то, что заключенный номер 500 оказался в тюрьме позже заключенного номер 100, поскольку один и тот же номер может несколько раз использоваться в качестве имени без какой-либо путаницы.

2) Более важным в научном смысле является использование чисел в тех случаях, когда порядок численного увеличения является тем же, что и порядок положения исследуемого свойства на шкале или схеме для определенных качеств. Допустим, нам нужно различить группы предметов по их твердости и мягкости. Мы можем принять следующее определение того, что значит для одного предмета быть жестче другого: алмаз жестче стекла, если алмаз может поцарапать стекло, а стекло не может поцарапать алмаз; предмет будет считаться столь же жестким, как и некоторый другой предмет, если с помощью первого предмета нельзя поцарапать второй, а с помощью второго – первый. В таком случае мы можем расположить предметы по шкале жесткости, если сможем экспериментально показать, что указанное отношение выполняется для каждой тройки различных по жесткости предметов: алмаз жестче стекла, стекло жестче древесины сосны, алмаз жестче древесины сосны. Таким образом, демонстрируется, что отношение «быть жестче, чем» является асимметричным (если В1 жестче, чем В2, то В2 не жестче, чем В1) и транзитивным (если В1 жестче, чем В2, и В2 жестче, чем В3, то В1 жестче, чем В3). Так, мы получаем возможность расставить предметы в линейной последовательности по их жесткости и, тем самым, получить шкалу или схему данного качества.

Теперь представим, что у нас 100 различных по жесткости предметов В1, В2… В100, расставленных в согласии со сформулированными выше условиями, так что В1 является самым жестким, а В100 – самым мягким. Мы можем захотеть приписать им числа для обозначения их относительной жесткости, так чтобы получившийся порядок численного увеличения был таким же, как и порядок увеличения относительной степени жесткости. (Это можно сделать, поскольку отношение увеличения чисел является асимметричным и транзитивным.) Однако какое число приписать предмету В1? Мы можем решить приписать ему число 0, или 1, или 25, или же любое другое число по нашему желанию. Допустим, мы решили приписать число 1 для В1, а В100 – число 100, а также согласились обозначать жесткость В2 числом 2, а жесткость В3 – числом 3 и т. д.

Данный выбор не был вынужденным. Мы вполне могли решить обозначать числом 1 В1, числом 5 – В2, числом 10 – В3 и т. д. Поэтому в терминах процедуры, которой мы следовали, расставляя предметы по шкале жесткости, нет никакого значения, которое можно было бы приписать утверждению о том, что В50 в два раза мягче, чем В25. Данное утверждение не обладает значением, поскольку при расстановке предметов по шкале единственными определяемыми отношениями являются отношения транзитивности и асимметричности применительно к возможности поцарапать один предмет другим. В приведенном утверждении неверно предполагается, что, поскольку один предмет располагается «выше» по шкале, чем другой предмет, он «содержит» больше того, что мы называем «жесткостью». Также в приведенном утверждении на том основании, что один предмет якобы содержит больше этого свойства, неверно предполагается, что он содержит определенное количество единиц этого свойства. Оба эти предположения должны беспощадно элиминироваться, ибо они происходят из ошибочной идеи о том, что жесткость является чем-то, что можно складывать. Однако ничто в процессе создания шкалы не подтверждает данной идеи. Жесткость и мягкость, так же как и температура, форма, плотность, ум, вежливость, являются несуммируемыми качествами. Такие качества зачастую называются интенсивными. Их можно измерить только в смысле выстраивания различных степеней данного качества в некоторой последовательности. Относительно подобных качеств вопросы о том, насколько больше или во сколько раз больше, являются бессмысленными.

Обратимся к третьему способу использования чисел. Иногда числа применяются для измерения количественных отношений в строгом смысле, т. е. так, что на вопросы «сколько» и «на сколько» могут быть даны ответы. Предположим, что мы рассматриваем набор предметов и хотим измерить их вес. Для того чтобы это сделать, мы должны, во-первых, построить шкалу или схему весов, похожую на ту, которую мы строили для измерения жесткости. Мы можем, к примеру, согласиться с тем, что предмет R тяжелее, чем какой-то другой предмет R тяжелее, чем какой-то другой предмет S , если при размещении R и S на разных сторонах рычажных весов сторона, на которой находится предмет R , оказывается ниже противоположной. Далее мы должны экспериментально установить, что отношение «быть тяжелее, чем» является транзитивным и асимметричным. Мы также оговорим, что предмет R имеет тот же вес , что и предмет R ', если R не тяжелее R ' и R ' не тяжелее R ; это значит, что ни одна сторона весов не оказывается ниже противоположной, когда на них кладутся R и R '.

Мы можем построить не только шкалу степеней веса. Мы также можем отыскать интерпретацию в терминах некоторой операции с предметами для утверждения, в котором говорится, например, о том, что один предмет весит в три раза больше другого. Такая интерпретация возможна, поскольку веса можно складывать. Физический процесс сложения заключается в помещении двух или более весов вместе на одну из сторон взвешивающего устройства. Теперь рассмотрим три предмета В, В\', В", которые являются одинаково тяжелыми, и положим их на одну сторону весов; на другую сторону мы положим предмет С так, чтобы было установлено равновесие. Тогда предмет С будет таким же тяжелым, как три предмета В, В\', В", взятые вместе, и его вес будет в три раза больше, чем вес каждого из трех предметов. Данная процедура может быть расширена для определения последовательности стандартных весов. В терминах данной процедуры можно осмысленно говорить, что один объект в n раз тяжелее или 1/n раз тяжелее другого объекта.

Однако мы пока еще недостаточно убедились в том, что числа, приписываемые подобным образом предметам, обладают всеми своими известными значениями. Мы показали, что вес, в отличие от тяжести, является суммируемым свойством. Нам нужно также показать, что числа, приписываемые весам, совместимы с самими собой, и сделать это придется опять с помощью эксперимента. Мы должны убедиться в том, что мы не допускаем ситуации, когда различные числа приписываются одним и тем же весам. Так, предположим, вес определенного объекта А рассматривается как определенная единица измерения или 1, и что мы с помощью этого процесса можем приписывать веса другим объектам так, что А2 будет обладать весом 2, А4 – весом 4, а А6 – весом 6. Можем ли мы быть уверены в том, что А2 и А4, будучи размещенными на одной стороне весов, окажутся на том же уровне, что и А6, если его поместить на противоположную сторону? Очень важно отметить, что мы не можем быть уверены в этом до тех пор, пока мы не проведем соответствующего эксперимента. Суждение о том, что 2 + 4 = 6, может быть доказано чисто арифметически без какого-либо эксперимента. Однако до тех пор, пока мы не проведем соответствующих экспериментов, мы не можем быть уверены в том, что физическая операция сложения весов согласуется с известными свойствами чисто арифметического сложения. Физическая операция сложения весов обладает обычными формальными свойствами арифметического сложения только в некоторых случаях, а не во всех: рычажные весы должны быть правильно сконструированы, стороны рычага должны быть одинаковой длины и т. д.

Метод измерения весов может использоваться также и для измерения других свойств. Длины, временные интервалы, площади, углы, электрический ток, электрическое сопротивление – все это может быть измерено сходным образом. Эти свойства являются суммируемыми: совмещая два объекта, обладающих одним и тем же свойством, мы получаем объект с увеличенной степенью этого свойства. Суммируемые свойства часто называются экстенсивными. Их можно измерять в соответствии с процессами, рассмотренными в данном параграфе. Такое измерение мы будем называть фундаментальным.

На данном этапе мы можем абстрактно сформулировать условия для измерения. Минимальные требования для использования чисел для измерения (в самом широком смысле этого слова) качественных различий представлены в первых двух условиях:

1. Если дан набор из n предметов, В1, В2… Вп, то мы должны расставить их в последовательность относительно данного качества так, чтобы между любыми двумя предметами имело место одно, и только одно, из следующих отношений: (a) Bi > Bj, (b) Bi < Bj (с) Bi = Bj. Знак «>» и обратный ему знак «<» обозначают отношение, на основе которого предметы могут выделяться как отличающиеся по степени изучаемого качества. Отношение > должно быть асимметричным.

2. Если Bi > Bj и Bj > Вк, то Bi > Вк. Это условие выражает транзитивность рассматриваемого отношения.

Данные два условия достаточны для измерения интенсивных качеств, таких, как температура или плотность. Они являются необходимыми, однако недостаточными для экстенсивного измерения. Для экстенсивного измерения нам нужен некоторый физический процесс сложения, обозначаемый знаком «+». Необходимо также экспериментально показать, что этот процесс обладает следующими формальными свойствами: