Чтение онлайн

I(0,)

=

S(0)

.

(3.57)

Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю находим значение (1)/(0)=2,9, уже упоминавшееся в предыдущем параграфе.

Входящую в формулы (3.56) и (3.57) величину S(0) можно выразить через поток излучения в фотосфере nF. Мы имеем

F

=

2

1

0

I(0,)

d

=

2S(0)

,

(3.58)

где использовано обозначение

n

1

0

n

d

.

(3.59)

Величины n, представляющие собой моменты функции , могут быть найдены из уравнения (3.53). Интегрируя это уравнение по в пределах от 0 до 1, получаем

=

1

+

1

2

1

0

1

0

(')

+'

d

d'

=

=

1

+

1

2

2

0

–

1

2

1

0

1

0

(')

+'

d

d'

=

=

2

+

1

2

2

0

–

,

(3.60)

откуда следует, что

=

2.

(3.61)

Умножая (3.53) на ^2d и интегрируя в пределах от 0 до 1, аналогично находим

=

2

3

.

(3.62)

Подстановка (3.62) в (3.58) даёт

F

=

4

3

S(0)

.

(3.63)

Эта формула, выражающая точную зависимость между величинами F и S(0), уже приводилась в предыдущем параграфе.

Подставляя (3.63) в (3.56), находим

S

=

3

4

F

1

+

0

(')

d'

.

(3.64)

Сравнение (3.64) с (2.51) даёт

q

=

1

3

1

+

0

(')

d'

–

.

(3.65)

Если мы подставим в (3.65) выражение (3.55), то придём к формуле, позволяющей вычислить функцию q по известным значениям функции .

§ 4. Локальное термодинамическое равновесие

1. Поле излучения при термодинамическом равновесии.

Как увидим дальше, в теории фотосфер широко используются формулы, описывающие состояние термодинамического равновесия. Поэтому мы должны привести некоторые из этих формул. Особый интерес представляет для нас вопрос о поле излучения при термодинамическом равновесии.

Как известно, термодинамическое равновесие осуществляется в полости, стенки которой нагреты до некоторой постоянной температуры T. Состояние термодинамического равновесия характеризуется тем, что каждый процесс уравновешивается противоположным ему процессом (в этом состоит «принцип детального равновесия»).

Отсюда, в частности, следует, что интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит ни от места, ни от направления. Если бы это было не так, то совершался бы переход энергии из одного места в другое в некоторых направлениях.

Очевидно также, что интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит от индивидуальных свойств полости. Для уяснения этого достаточно допустить, что имеются две полости с одинаковыми температурами, но с разными значениями интенсивности излучения частоты . Тогда при соединении этих полостей начался бы переход энергии из одной полости в другую, в противоречии со вторым началом термодинамики.

Таким образом, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии зависит только от частоты и температуры. Мы обозначим эту интенсивность через B(T).

Применим к рассматриваемому случаю уравнение переноса излучения (1.11). Так как в данном случае dI/ds=0, то из (1.11) следует

=

B

(T)

.

(4.1)

Формулой (4.1) выражается закон Кирхгофа: при термодинамическом равновесии отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения равно интенсивности излучения, являющейся универсальной функцией от частоты и температуры.

Выражение для интенсивности излучения при термодинамическом равновесии впервые было найдено Планком. Формула Планка имеет вид

B

(T)

=

2h^3

c^2

1

exp(h/(kT))-1

,

(4.2)

где h — постоянная Планка и k — постоянная Больцмана.

Как уже сказано, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит от направления, т.е. излучение является изотропным. В этом случае, как следует из формулы (1.3), плотность излучения равна

(T)

=

4

c

B

(T)

.

(4.3)

Поэтому при термодинамическом равновесии для плотности излучения (T) получаем

(T)

=

8h^3

c^3

1

exp(h/(kT))-1

.

(4.4)

Поток излучения при термодинамическом излучении, очевидно, равен нулю. Однако поток излучения, выходящего из упомянутой полости через малое отверстие, отличен от нуля. Для нахождения этого потока надо воспользоваться формулой (1.4) и принять во внимание, что интенсивность выходящего из полости излучения не зависит от направления, а излучение, входящее в полость, отсутствует. В результате для потока излучения H(T) в этом случае получаем

H

(T)

=

B

(T)

.

(4.5)

Заметим, что если излучение попадает в полость через малое отверстие, то оно в ней практически полностью поглощается. Можно сказать, что в этом случае мы имеем дело с абсолютно чёрным телом. Поэтому величина B(T) называется часто интенсивностью излучения абсолютно чёрного тела.

Проинтегрировав выражение (4.4) по всем частотам, мы получаем полную плотность излучения при термодинамическом равновесии: