Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
3. Излучение, выходящее из фотосферы.
Чтобы определить поле излучения в фотосфере для разных частот, мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения
cos
dI
dr
=-
I
+
.
(4.24)
Полагая здесь
=
S
(4.25)
и вводя оптическую глубину в фотосфере в частоте
=
r
dr
,
(4.26)
вместо (4.24) получаем
cos
dI(,)
d
=
I
(
,)
–
S
(
)
.
(4.27)
Интегрируя уравнение (4.27), можно найти интенсивность излучения на разных оптических глубинах. Для нас наибольший интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величина I(0,). Эта величина равна
I
(0,)
=
0
S
(
)
e
– sec
sec
d
.
(4.28)
Формула (4.28) есть простое следствие уравнения переноса излучения. Воспользуемся теперь предположением о локальном термодинамическом равновесии. Сравнивая между собой формулы (4.25) и (4.1), мы видим, что при этом предположении
S
(
)
=
B
(T)
,
(4.29)
где B(T) — интенсивность излучения абсолютно чёрного тела, даваемая формулой (4.2). Поэтому в случае локального термодинамического равновесия вместо (4.28) получаем
I
(0,)
=
0
B
(T)
e
– sec
sec
d
.
(4.30)
или
I
(0,)
=
2h^3
c^2
0
e– secsecd
eh/(kT)– 1
(4.31)
Формула (4.31) даёт интенсивность излучения частоты , выходящего из звезды под углом к радиусу-вектору. Вместе с тем она даёт яркость диска звезды в частоте на угловом расстоянии от центра диска (см. § 2).
Величина I(0,) может быть найдена из наблюдений Солнца и затменных переменных. Из наблюдений других звёзд получается лишь величина, пропорциональная потоку излучения H с поверхности звезды. Точнее говоря, эти наблюдения дают освещённость от звезды, равную
E
=
L
4r^2
(4.32)
где E — светимость звезды в частоте и r — расстояние от звезды до наблюдателя. Но
E
=
4R^2
H
,
(4.33)
где R — радиус звезды. Поэтому имеем
E
=
R
r
^2
H
.
(4.34)
Таким образом, поток излучения H характеризует относительное распределение энергии в спектре звезды.
Поток излучения H определяется формулой
H
=
2
/2
0
I
(0,)
cos
sin
d
,
(4.35)
вытекающей из (1.5). Подставляя в (4.35) выражение (4.28) и меняя порядок интегрирования, находим
H
=
2
0
S
(
)
E
d
,
(4.36)
где E — вторая интегральная показательная функция [сравните с формулой (2.50)1.
При предположении о локальном термодинамическом равновесии в фотосфере, из (4.36) следует
H
=
2
0
B
(T)
E
d
,
(4.37)
или
H
=
4h^3
c^2
0
Ed
eh/(kT)– 1
.
(4.38)
Формулы (4.31) и (4.38) справедливы при любой зависимости коэффициента поглощения от частоты. Однако чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо знать связь между величинами T и . В дальнейшем мы займёмся установлением такой связи при произвольном коэффициенте поглощения . Сейчас же, как и раньше, допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае =, а связь между T и даётся формулой (4.21) [или приближённой формулой (4.20)].
В указанном случае вместо формул (4.31) и (4.38) получаем
I
(0,)
=
2h^3
c^2
0
e
– sec
sec d
exp
h
1
+
3
– 1/4
– 1
kT
e
2
4
(4.39)
и
H
=
4h^3