Чтение онлайн

(T)

=

0

(T)

d

=

8h

c^3

0

^3d

exp(h/(kT))-1

,

(4.6)

или

(T)

=

aT

,

(4.7)

где

a

=

8k

15c^3h^3

.

(4.8)

Формула (4.7) выражает закон Стефана — Больцмана. Величина a называется постоянной Стефана.

Интегрируя по всем частотам выражение (4.2), находим полную интенсивность излучения абсолютно чёрного тела

B(T)

=

ac

4

T

.

(4.9)

Из (4.5) и (4.9) следует, что полный поток излучения, выходящего из абсолютно чёрного тела, равен

H(T)

=

T

,

(4.10)

где

=

ac

4

.

(4.11)

2. Предположение о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы.

Поле излучения в фотосфере сильно отличается от поля излучения при термодинамическом равновесии. Это видно уже из того, что интенсивность излучения в фотосфере зависит от глубины и от направления. Поэтому не может быть и речи о наличии термодинамического равновесия в фотосфере в целом.

Даже условия в элементарном объёме фотосферы очень далеки от условий термодинамического равновесия (хотя бы вследствие неизотропности падающего на объём излучения). Однако излучение, поглощаемое элементарным объёмом, в сильной степени им перерабатывается. Как известно, такая переработка идёт в направлении установления термодинамического равновесия. Поэтому можно предположить, что в каждом месте фотосферы коэффициент излучения связан с коэффициентом поглощения таким же соотношением, как и при термодинамическом равновесии с некоторой температурой T, характерной для данного места. При этом температура определяется из того условия, что полное количество энергии, излучаемое элементарным объёмом, равно полному количеству энергии, поглощаемому этим объёмом, т.е. из условия лучистого равновесия.

Указанное предположение называется предположением о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы. Несомненно, что оно выполняется с большой точностью в глубоких слоях фотосферы. Вопрос же о том, в какой мере это предположение выполняется в поверхностных слоях звезды, довольно труден для теоретического рассмотрения. Некоторые заключения по этому вопросу могут быть сделаны на основе сравнения теории с наблюдениями (см. §6).

Предположение о локальном термодинамическом равновесии означает, что в звёздной фотосфере отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения даётся формулами (4.1) и (4.2), т.е.

=

2h^3

c^2

1

exp(h/(kT))-1

.

(4.12)

Формула (4.12) принадлежит к числу основных соотношений теории фотосфер (вместе с уравнением переноса излучения и уравнением лучистого равновесия).

Принятие предположения о локальном термодинамическом равновесии сильно упрощает теорию фотосфер. Без такого предположения расчёт поля излучения в фотосфере для разных частот был бы чрезвычайно трудным.

Как и раньше, мы сейчас допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае зависимость температуры от оптической глубины получается в явном виде и расчёт поля излучения в фотосфере для разных частот выполняется совсем легко.

Если коэффициент поглощения не зависит от частоты, то формула (4.12) принимает вид

=

2h^3

c^2

1

exp(h/(kT))-1

.

(4.13)

Интегрируя (4.13) по всем частотам, получаем

=

ac

4

T

,

(4.14)

где принято во внимание (4.9). Как и в § 2, обозначим =S. Величина S была найдена в теории лучистого равновесия как функция от оптической глубины . Поэтому имеем

S

=

ac

4

T

.

(4.15)

Этой формулой и даётся связь температуры с оптической глубиной.

Если величина S найдена в приближении Эддингтона, то она определяется формулой (2.33). В этом случае получаем

ac

4

T

=

nF

1

2

+

3

4

.

(4.16)

Взяв для S точное выражение, даваемое формулой (2.50), находим

ac

4

T

=

nF

3

4

+

q

.

(4.17)

Входящая в формулы (4.16) и (4.17) величина nF есть полный поток излучения в фотосфере. Его удобно представить как полный поток излучения абсолютно чёрного тела некоторой температуры Te т.е., основываясь на формуле (4.10), положить

nF

=

T

4

e

,

(4.18)

где =ac/4. Температура Te называется эффективной температурой звезды. Со светимостью звезды L и её радиусом R она связана соотношением

L

=

4

R^2

T

4

e

.

(4.19)

Подстановка (4.18) в формулы (4.16) и (4.17) даёт

T

=

T

4

e

1

2

+

3

4

,

(4.20)

T

=

T

4

e

+

q

.

(4.21)

Полагая в полученных формулах =0, мы можем определить поверхностную температуру T. В приближении Эддингтона находим

T

=

2^1

/

T

e

=

0,841

T

e

.

(4.22)

Точная связь между T и Te такова:

T

=

3

4

^1/

T

e

=

0,811

T

e

.

(4.23)

Положив в тех же формулах T=Te, мы находим оптическую глубину, соответствующую эффективной температуре звезды. Она получается равной =^2/ по формуле (4.20) и =0,64 по формуле (4.21).