Чтение онлайн

c^2

0

E d

exp

h

1

+

3

– 1/4

– 1

kT

e

2

4

(4.40)

где использована формула (4.20).

Вычисления показывают, что распределение энергии в непрерывном спектре звезды, даваемое формулой (4.40), не сильно отличается от планковского распределения при температуре, равной эффективной температуре звезды, т.е.

H

2h^3

c^2

1

eh/(kTe)– 1

(4.41)

Только в далёкой ультрафиолетовой области спектра имеется значительный избыток излучения по сравнению с планковским, причём он растёт с увеличением частоты .

Однако наблюдаемое распределение энергии в спектрах звёзд не согласуется с теоретическим распределением, даваемым формулой (4.40). При этом для звёзд разных спектральных классов расхождения между наблюдениями и теорией различны. Например, расхождения не очень велики для видимой части спектра Солнца, но очень велики для видимой части спектров звёзд классов A и B. Объясняется это тем, что формула (4.40) написана при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. Очевидно, что влияние зависимости коэффициента поглощения от частоты на распределение энергии в спектре звезды должно быть очень существенным.

Вопрос о зависимости коэффициента поглощения от частоты и о влиянии этой зависимости на вид спектра звезды будет подробно рассмотрен в двух следующих параграфах. Сейчас же мы попытаемся определить некоторые характеристики звёздной фотосферы, сохраняя допущение о независимости коэффициента поглощения от частоты. Полученные ниже результаты можно применять в качестве приближения к реальным фотосферам, если пользоваться некоторым средним коэффициентом поглощения (т.е. коэффициентом поглощения, усреднённым по частоте).

4. Зависимость температуры и плотности от глубины.

Ранее была найдена зависимость температуры от оптической глубины в фотосфере. При этом были сделаны предположения о лучистом равновесии и локальном термодинамическом равновесии. Теперь мы найдём зависимость температуры и плотности от геометрической глубины в фотосфере. Для этого нам придётся сделать ещё одно предположение — о механическом равновесии фотосферы. Очевидно, что справедливость этого предположения для подавляющего большинства звёзд не вызывает сомнений (кроме звёзд типа Вольфа — Райе, новых и подобных им звёзд, которых мы сейчас рассматривать не будем).

Будем считать, что каждый элемент объёма в фотосфере находится в равновесии под действием двух сил: силы тяготения и силы газового давления (световым давлением пока пренебрегаем). Приравнивая эти силы друг другу, получаем уравнение гидростатического равновесия

dp

=-

g

dr

,

(4.42)

где p — давление, — плотность и g — ускорение силы тяжести в фотосфере.

Очевидно, что газ в фотосфере можно считать идеальным. Поэтому к уравнению (4.42) добавим ещё уравнение состояния идеального газа:

p

=

R*

T

,

(4.43)

где — средний молекулярный вес и R* — газовая постоянная.

Считая, что не меняется в фотосфере, из (4.42) и (4.43) находим

R*

d(T)

=-

g

dr

.

(4.44)

Воспользуемся также полученной выше связью между температурой T и оптической глубиной . Приближённая связь между этими величинами даётся формулой (4.20), из которой следует

dT

=-

3

4

T

4

e

dr

.

(4.45)

Здесь под , как уже сказано, может пониматься средний коэффициент поглощения.

Из двух последних уравнений можно найти и T в виде функций от r. Но для этого надо задать зависимость от и T. Мы положим = и будем сначала считать, что =const. Тогда из уравнений (4.44) и (4.45) получаем

d(T)

=

3

4

g

R*

dT

T

4

e

,

(4.46)

или, после интегрирования,

=

4

3

g

R*

T

–

T

4

0

T

4

e T

,

(4.47)

где T — поверхностная температура звезды.

В глубоких слоях фотосферы, где T>>T плотность оказывается связанной с температурой соотношением

=

4

3

g

R*

T^3

T

4

e

.

(4.48)

Подставляя (4.48) в (4.44), находим следующую формулу для градиента температуры:

dT

dr

=-

g

4R*

.

(4.49)

Уравнения (4.44) и (4.45) могут быть легко решены и при более общих предположениях относительно . Допустим, например, что

~

^2

Ts

,

(4.50)

где s — некоторый параметр (такая формула для , как увидим в § 5, действительно встречается). Тогда вместо (4.48) и (4.49) получаем

~

T

(s+3)/2

(4.51)

и

dT

dr

=-

2

s+5

g

R*

.

(4.52)

Применим полученные выше формулы к фотосфере Солнца. Полагая в формуле (4.49) g=2,7·10, =1, R*=8,3·10, находим: dT/dr=-10 кельвинов/см. Следовательно, при углублении в фотосферу Солнца на 1 км температура возрастает на 10 кельвинов.

Из полученных формул можно также найти величину |dr/d|. т.е. геометрическую толщину слоя единичной оптической толщины. Подставляя в формулу d=- dr выражение (4.48), находим

dr

d

=-

3

4

R*Te

gT^3

.

(4.53)

Если мы положим здесь T=Te то величина |dr/d|. будет характеризовать собой толщину фотосферы. В случае Солнца толщина фотосферы оказывается порядка 100 км. Так как радиус Солнца равен 700 000 км, то мы убеждаемся в том, что толщина фотосферы гораздо меньше радиуса. Этим результатом мы уже пользовались раньше, считая фотосферные слои плоскопараллельными.