Чтение онлайн

Закрепив содержание понятий в «определениях» («точка есть то, что не имеет частей», «линия есть длина без ширины» и т.п.), Евклид переходит к аксиомам и постулатам. Аксиомы – утверждения, которые благодаря своей очевидности принимаются без доказательства («равные порознь третьему равны между собой»). Постулаты – требования построить некоторые простейшие фигуры («требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию»). На основе определений, аксиом и постулатов Евклид логически выводит теоремы, раскрывающие свойства геометрических фигур. Свою систему он завершает теорией правильных многогранников.

Как целое система Евклида представила метод построения допустимых в трехмерном пространстве геометрических фигур – мыслительных моделей, полученных в результате абстрагирования пространственных свойств физических тел, и их взаимоотношений, то есть метод моделирования трехмерного пространства реальности. А поскольку геометрия трехмерного пространства была образована путем отвлечения от субстанции тел, от их внутренних, вещественных свойств и прежде всего их массы10 , то пространство евклидовой геометрии, захватывающее лишь внешние поверхности и объемы тел, оказалось изотропным (не имеющим выделенных направлений движения) и однородным.

Таким образом, под исследование чувственно опознаваемых пространственных свойств физических тел (местоположения, величины, объема, формы) был подведен теоретический фундамент, логически развернутый из аксиом и постулатов. Спустя две тысячи лет, аксиомы получили свое осмысление: вслед за рационалистами Нового времени аксиомы стали считаться истинами, присущими самому разуму и предшествующими всякому опыту – априорными11 формами мышления. Априорные формы накладываются на чувственные ощущения, организуют их и тем придают знанию характер всеобщности и необходимости, что позволяет им составлять фундамент научного знания. В геометрии Евклида аксиомы принимаются как исходные положения науки, из которых далее чисто логическим путем посредством доказательства выводятся все остальные утверждения. Поэтому метод моделирования трехмерного пространства в евклидовой геометрии называется аксиоматическим.

Представление об априорных формах мышления со временем усложнялось. Однако заметим, что, так или иначе, без априорных форм научное знание невозможно. Априорные (интуитивные, а поэтому принимаемые как самоочевидные, не требующие доказательства) формы знания удостоверяют принадлежность субъекта этой реальности и, следовательно, возможность субъекта понимать реальность изнутри, достигая ее сущности.

В системе Евклида априорную природу в чистом виде имеет пятый постулат (аксиома параллельности), который в отличие от других аксиом не очевиден, его нельзя подтвердить или опровергнуть опытом и нельзя вывести логически из других постулатов.

V постулат

И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

В современных учебных пособиях используется формулировка, данная Проклом:

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

На протяжении двух тысячелетий V постулат привлекал пристальное внимание и усилия ученых, пытавшихся исключить его из списка аксиом и вывести его как теорему. В результате появилось огромное количество эквивалентных форм постулата, многие из которых более очевидны, чем исходная форма. Однако оказалось, что они не могут заменить V постулат, поскольку каждая из них для своего доказательства требует привлечения V постулата. И наоборот, любая из эквивалентных форм постулата, взятая в качестве аксиомы, позволяет доказать сам постулат, то есть в результате многовековой разработки этой задачи обнаружился порочный круг, замыкающий V постулат сам на себя. Так усилия ученых по обоснованию данного постулата не достигли поставленной цели, но в конце концов привели к пересмотру представлений о геометрии физического пространства.

По этому поводу Н.И. Лобачевский писал: «В самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения»12.

Неочевидный и не выводимый из очевидного знания, не подтверждаемый однозначно в опыте V постулат заключал исходную интуитивную установку исследователя на геометрию физического пространства. Евклид воображал и моделировал физическое пространство как трехмерное с плоскостью нулевой кривизны, он был уверен, что живет именно в таком пространстве. В этом случае V постулат сделал возможной стройную систему евклидовой геометрии.

Н.И. Лобачевский, заменив только пятый постулат, получил другую – неевклидову геометрию.

Итак, исторический момент появления евклидовой геометрии может быть охарактеризован как высвобождение науки из философии. В чем же заключалась специфика нарождающейся науки? Мы видели, что Аристотель систематизировал описание мира на основе интуитивных обобщений повседневного опыта. Для понимания скрытых закономерностей этого мира было достаточно ответить на вопросы: откуда все произошло и для чего? Поэтому картину мира Аристотель достроил рациональной схемой причин (материальная, формальная, целевая, движущая), относимой к любому объекту или миру в целом. Схема причин была абстрагирована Аристотелем из целесообразной производительной деятельности человека. То есть положенный в основание картины мира человеческий опыт восприятия действительности замыкался человеческой же продуктивной деятельностью. В философии действительность сама по себе не достигается, а присутствует в формах восприятий и практики человека. Эти формы спаивают частные явления в единство среды, которая понимается, однако, как «единство мира». А воссозданный производственно-технический генезис явлений выдается за их естественную причинно-следственную динамику и за всеобщую процессуальность мира. Но поскольку ни в отношении «единства мира», ни в отношении его «причинно-следственной динамики» у человека не может быть достаточного непосредственного опыта: ни то, ни другое не стягивается в «здесь и сейчас», где осуществляется реальное взаимодействие человека со средой, – постольку и «единство мира» и его «всеобщая процессуальность» оказываются только умозрительными конструкциями.

Выделившаяся из этого типа мышления наука рассматривает реальность как частные явления, находящиеся во взаимодействии, то есть наука не спаивает, а наоборот, структурирует реальность как предмет своего исследования и выделяет именно отношения, пространство «между» (явлениями как частями реальности), которое и обеспечивает связанность частей. Взаимодействие частных явлений всегда конкретно и может быть схвачено «здесь и сейчас» органами восприятия, пусть и усиленными их искусственными продолжениями (приборами и инструментами). Однако изучать взаимодействие частных явлений, преследуя познание всеобщих закономерностей, все же невозможно без исходного представления о том, что есть реальность вообще. В науке это представление моделируется на основе интуитивных данностей, достроенных до рациональных конструкций, как это произошло в геометрии Евклида.

Заложенная в методологический фундамент науки евклидова геометрия дала возможность под крышей аристотелизма создать физическую теорию, которая на основе открытых закономерностей не только объясняла все наблюдаемые движения небесных тел, но и предсказывала их «фактические» положения в ближайшем будущем. Последнее было практически важно, поскольку небесная сфера определяла наземную динамику и небо являлось для человека универсальным навигатором жизнедеятельности.

Великий астроном и математик Клавдий Птолемей в своем главном 13-томном труде по астрономии «Большое математическое построение», известном как «Альмагест», каталог которого включал более 1000 звезд, обобщил результаты многовековых наблюдений и измерений греческих и халдейских астрономов и других исследований по астрономии и сопутствующим наукам. Исходя из принципа Аристотеля, «мир таков, каким я его вижу» (вывод из повседневности, по определению А. Эйнштейна), Птолемей спроецировал результаты текущих наблюдений движения небесных тел в пространство геометрических форм и измерений. В этом пространстве конкретные небесные тела были абстрагированы в геометрические точки, а траектории движения обрели геометрические формы. Для понимания того, как именно движутся планеты, Птолемей применил предложенную еще Аристотелем для движения небесных тел форму круга. В итоге получилась искусственная многоярусная схема деферентов и эпициклов13 , где сложные криволинейные движения планет представлены в виде суммы простых круговых движений, или в виде суммы циклических функций. Заметим, что в начале XIX века французский математик Жан Фурье доказал теорему о возможности представления любой функции в виде ряда по циклическим функциям, что означает, Птолемей открыл новый математический метод, который спустя семнадцать столетий был заново разработан под названием гармонического анализа!