Чтение онлайн

Поскольку а^2bc + b^2ас + с^2ab = аbс(а + b + с) = 0, то

а4 + b4 + с4 = 2(а^2b^2 + а^2с^2 + b^2с^2).

Преобразуем левую часть тождества, которое нужно доказать:

а5(b^2 + с^2) + b5(а^2 + с^2) + с5(а^2 + b^2) = а^2b^2(а^3 + b^3) + а^2с^2(а^3 + с^3) + b^3с^2(b^3 + с^3).

Заменим а^3 + b^3 на 3аbс– с^3 и поступим аналогично с остальными скобками:

что и требовалось доказать.

7.11. Если данное равенство доказано при x >= 0 и любом y, то оно верно для всех x и y. Действительно, пусть x < 0. Тогда левую часть можно записать в виде

|-(x + y)| + |-(x– y)| = |(-x) - y)| + |(-x) + y|,

а правую — в виде

Поскольку -x > 0, то равенство стоящих справа выражений будет доказано.

Итак, пусть x >= 0. Рассмотрим два случая: |y| <= x и |y| > x.

1. x >= 0, |y| <= x, т. е.
– x <= y <= x. Тогда x^2 - y^2 >= 0 и

2. x >= 0, |y| > x, т. е. y < -x или y > x. Левая часть равенства в этом случае равна 2|y| (случаи y < -x и y > x разберите самостоятельно). Так как |y| > x, то

Тем самым доказательство тождества закончено.

7.12. Так как обе части равенства неотрицательны, то можно каждую из них возвести в квадрат

Осуществим действия, указанные в скобках, и заметим, что (x + y/2)^2 >= xy. Получим

x^2 + 2ху + y^2.

Если возвести в квадрат правую часть, то получим

x^2 + 2|ху| + y^2.

Так как по условию ху = |ху|, то равенство доказано.

7.13. Возведем выражение

a 1/3 + b 1/3 = -c 1/3 (1)

в куб. Получим

a + b + 3a 1/3 b 1/3 (a 1/3 + b 1/3 ) = -c. (2)

Подставим (1) в (2):

a + b - 3a 1/3 b 1/3 c 1/3 = -c.

т. е.

a + b + c = 3a 1/3 b 1/3 c 1/3 ,

или

(а + b + с)^3 = 27аbс.

7.14. По условию

24х^2 + 48х + 26 = (ax + b)^3 - (cx + d)^3,

т. е. коэффициенты многочленов слева и справа равны. Прежде чем преобразовать правую часть, заметим, что коэффициент при x^3 равен нулю, т. е. а^3 - с^3 = 0, или а = с. Тогда получим, что

(ax + b)^3 - (ax + d)^3 = 3а^2(b– d)x^2 + 3а(b^2 - d^2)x + b^3 - d^3.

Следовательно,

Из (3): b–  d = 8/a^2. Из (4) с учетом (3): b + d = 2а.

Далее найдем:

Подставим выражения для b–  d , b + d и bd в (5):

(так как а > 0).

Соответственно, b = 3, d = 1.

Ответ. 2x + 3; 2x + 1.