Чтение онлайн

x4– x^2 - 2x– 1 = (1 + x– x^2)(-x^2 - x– 1).

Таким образом,

Ответ.

7.3. Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю. Получим

где А и B — соответственно многочлены, входящие множителями в первое и во второе слагаемые.

Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После этого останется

Преобразуем третье слагаемое:

Остается вычесть его из предыдущего результата.

Ответ.

7.4. Домножив дробь на

Остается вычесть 2b и данное выражение примет вид

Ответ.

7.5. Вынесем за скобки

Ответ. 0.

7.6. Преобразуем данное выражение:

Так как 1 <= x <= 2, то 0 <= x– 1 <= 1 и, следовательно,

Ответ. 2.

7.7. Так как 9 + 42 = (22 + 1)^2, то

Остается преобразовать

Если догадка, что

43 + 302 = 25 + 2 · 5 · 32 + 18 = (5 + 32)^2,

кажется вам неестественной, то воспользуйтесь формулой сложного радикала

Ответ. 5 + 32.

7.8. Перепишем данное выражение в виде

(z^2 - y^2)(xу + zu) + (x^2 - u^2)(xу + zu) + (y^2 - z^2)(xz + уu) + (x^2 - u^2) x (xz + уu) = (z^2 - y^2)(xу + zu– xz– уu) + (x^2 - u^2)(xу + zu + xz + уu).

Так как

xу + zu– xz– уu = x(y– z) - u(y– z) = (y– z)(x– u),

xу + zu + xz + уu = (y + z)(x + u),

то получим

(z– y)(z + y)(y– z)(x– u) + (x– u)(x + u)(y + z)(x + u) = (x– u)(y + z)[-(y– z)^2 + (x + u)^2].

Ответ. (x– u)(y + z)(x + u– y + z)(x + u + y– z).

7.9. Обозначим

Возведем в куб. Получим

Произведение корней преобразуем так:

выражение в скобках равно z. Придем к уравнению

z^3 - 5z– 12 = 0.

Так как z = 3 — корень этого уравнения, в чем убеждаемся проверкой, то преобразуем уравнение к виду

z^3 - 9z + 4z– 12 = 0, или (z– 3)(z^2 + 3z + 4) = 0.

Уравнение z^2 + 3z + 4 = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, z = 3, что и требовалось доказать.

7.10. По условию а + b = -с. Возведем в куб

а^3 + b^3 + 3аb(а + b) = -с^3

и заменим а + b на -с. Получим

а^3 + b^3 + с^3 = 3аbс.

Возведем а + b + с = 0 в квадрат

а^2 + b^2 + с^2 = -2(ab + ас + bc)

и еще раз возведем в квадрат

а4 + b4 + с4 + 2(а^2b^2 + а^2с^2 + b^2с^2) = 4[а^2b^2 + а^2с^2 + b^2с^2 + 2(а^2bc + b^2ас + с^2ab)].