Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
=
A
dp
dx
+
B
dp
dy
+
C
dp
dz
dx
dy
dz
,
где p обозначает потенциал, создаваемый в точке (x,y,z) единичным магнитным полюсом, помещённым в (,,) или, другими словами, обратное расстояние между точкой (,,), в которой измеряется потенциал, и точкой (x,y,z), в которой расположен элемент магнита, создающий этот потенциал.
Это выражение можно проинтегрировать по частям, как в п. 96, 386:
V
=
p
(
Al
+
Bm
+
Cn
)
dS
–
–
p
dA
dx
+
dB
dy
+
dC
dz
dx
dy
dz
,
где l, m, n - направляющие косинусы нормали, проведённой наружу от элемента поверхности магнита dS.
В случае соленоидального магнита выражение под знаком интеграла во втором члене равно нулю для всех точек внутри магнита, так что тройной интеграл равен нулю, а скалярный потенциал в любой точке как вне, так и внутри магнита задаётся поверхностным интегралом, стоящим в первом члене.
Таким образом, скалярный потенциал соленоидального магнита полностью определён, если в каждой точке поверхности известна нормальная составляющая намагниченности, и этот потенциал не зависит от формы соленоидов внутри магнита.
415. В случае ламеллярного магнита намагниченность определяется потенциалом намагниченности , так что A=d/dx, B=d/dy, C=d/dz.
Выражение для V можно поэтому переписать в виде
V
=
d
dx
·
dp
dx
+
d
dy
·
dp
dy
+
d
dz
·
dp
dz
dx
dy
dz
.
Интегрируя это выражение по частям, находим
V
=
l
dp
dx
+
m
dp
dy
+
n
dp
dz
dS
–
–
d^2p
dx^2
+
d^2p
dy^2
+
d^2p
dz^2
dx
dy
dz
.
Второй член равен нулю, если точка (,,) не принадлежит магниту, в противном случае он равен 4, где - значение в точке (,,). Поверхностный интеграл можно выразить через величину r, равную длине отрезка между точками (x,y,z) и (,,), и через угол , который этот отрезок образует с внешней нормалью к элементу поверхности dS, так что потенциал можно записать в виде
V
=
1
r^2
cos
dS
+
4
,
где второй член, конечно, равен нулю, если точка (,,), не принадлежит веществу магнита.
Потенциал V, выражаемый этим уравнением, непрерывен даже на поверхности магнита, где значение скачком обращается в нуль, потому что, если записать
=
1
r^2
cos
dS
,
и обозначить через 1 значение в точке, непосредственно находящейся на поверхности, а 2– значение в точке, близкой к первой, но вне поверхности, то
2
=
1
+
4
,
или
V
2
=
V
1
.
Величина не является непрерывной на поверхности магнита.
Составляющие магнитной индукции связаны с уравнениями
a
=
–
d
dx
,
b
=
–
d
dy
,
c
=
–
d
dz
.
416. В случае ламеллярного распределения магнетизма мы можем упростить также и вектор-потенциал магнитной индукции.
Его x-составляющую можно записать:
F
=
d
dy
dp
dz
–
d
dz
dp
dy
dx
dy
dz
.
Интегрируя по частям, мы можем представить это в виде поверхностного интеграла:
F
=
m
dp
dz
–
n
dp
dy
dS
,
или
F
=
–
p
m
d
dz
–
n
d
dy
dS
.
Остальные составляющие вектор-потенциала можно получить, сделав соответствующие замены в этих выражениях.
О телесных углах
417. Мы уже доказали, что потенциал, создаваемый магнитной оболочкой в произвольной точке P, равен мощности оболочки, умноженной на телесный угол, опирающийся на её край. Поскольку нам придётся ещё раз обратиться к телесным углам в теории электрических токов, мы сейчас объясним, как их можно измерять.
Определение. Телесный угол с вершиной в данной точке, опирающийся на замкнутую кривую, измеряется площадью сферической поверхности единичного радиуса с центром в данной точке, границей которой служит след пересечения сферы с радиус-вектором при его движении по замкнутой кривой. Эта площадь должна считаться положительной или отрицательной в соответствии с тем, лежит ли она по левую или по правую сторону относительно движения радиус-вектора, видимого из данной точки.
Обозначим заданную точку через (,,) а точку на замкнутой кривой через (x,y,z). Координаты x, y, z являются функциями длины кривой s, отсчитываемой от некоторой точки, причём периодическими функциями s, восстанавливающими свои значения при увеличении s на полную длину замкнутой кривой.
Мы можем вычислить телесный угол непосредственно из его определения следующим образом. Используя сферические координаты с центром в (,,) и полагая
x-
=
r
sin
cos
,
y-
=
r
sin
sin
,
z-
=
r
cos
,
найдём путём интегрирования площадь внутри произвольной кривой на сфере:
=
(1-cos )
d
,
или в прямоугольных координатах