Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Поэтому, если замкнутая кривая проведена так, что она проходит сквозь оболочку один раз, или, другими словами, является однократно сцепленной с её краем, то значение интеграла dsd, взятого по обеим замкнутым кривым, равно 4.
Следовательно, этот интеграл, зависящий только от замкнутой кривой s и произвольной кривой AP, является примером многозначной функции, так как, если переходить из A в P различными путями, интеграл будет принимать различные значения в соответствии с тем, сколько раз кривая AP обернётся вокруг кривой s.
Если одна кривая между точками A и P может быть трансформирована в другую непрерывным её перемещением без пересечения кривой s, то интеграл будет иметь одинаковые значения для обеих кривых; если же в процессе трансформации она пересечёт замкнутую кривую n раз, значения интеграла будут отличаться на 4n.
Таким образом, для двух произвольных замкнутых в пространстве кривых s и , не сцепленных друг с другом, интеграл, взятый однократно по обеим кривым, равен нулю.
Если же кривые охватывают друг друга n раз в одном и том же направлении, значение интеграла равно 4n. Возможно, однако, что две кривые охватывают друг друга попеременно в противоположных направлениях, оставаясь неразделимо сцепленными друг с другом при равном нулю значении интеграла, см. рис. 4.
Рис. 4
Открытие Гауссом этого интеграла, выражающего работу, совершаемую магнитным полюсом при его движении по замкнутой кривой в присутствии замкнутого электрического тока, и характеризующего геометрическую связанность двух замкнутых кривых, побудило его сетовать на слабое развитие Геометрии Положений (топологии) со времён Лейбница, Эйлера и Вандермонда. Сейчас, однако, мы уже можем говорить о некотором прогрессе, обязанном Риману, Гельмгольцу и Листингу.
422. Исследуем теперь результат интегрирования по s вдоль замкнутой кривой.
Один из членов, определяющих в уравнении (7), равен
–
– x
r^3
d
d
dz
ds
=
d
d
d
d
1
r
dz
ds
.
(8)
Для краткости запишем
F
=
1
r
dx
ds
ds
,
G
=
1
r
dy
ds
ds
,
H
=
1
r
dz
ds
ds
,
(9)
где интегралы берутся однократно по замкнутой кривой s; тогда этот член в выражении для можно представить в виде
d
d
d^2H
dds
,
а соответствующий ему член в ds будет
d
d
dH
d
.
Собрав все члены, входящие в , мы можем теперь записать
–
d
d
=
–
ds
=
=
dH
d
–
dG
d
d
d
+
dF
d
–
dH
d
d
d
+
dG
d
–
dF
d
d
d
.
(10)
Эта величина является, очевидно, скоростью уменьшения магнитного потенциала при прохождении вдоль кривой , или, другими словами, она представляет собой магнитную силу в направлении d.
Полагая элемент d поочерёдно направленным вдоль осей x, y и z, для значений составляющих магнитной силы получим
=-
d
d
=
dH
d
–
dG
d
,
=-
d
d
=
dF
d
–
dH
d
,
=-
d
d
=
dG
d
–
dF
d
.
(11)
Величины F, G, H являются составляющими вектор-потенциала магнитной оболочки единичной мощности, краем которой служит кривая s. В отличие от скалярного потенциала , они не относятся к функциям, принимающим целый ряд значений, а являются совершенно определёнными для каждой точки пространства.
Вектор-потенциал, создаваемый в точке P магнитной оболочкой, ограниченной замкнутой кривой, можно найти путём следующих геометрических построений.
Пусть точка Q движется вдоль замкнутой кривой со скоростью, численно равной её расстоянию от точки P, а вторая точка R выходит из некоторой фиксированной точки A и движется с единичной скоростью в направлении, всюду параллельном направлению движения Q. Когда точка Q обойдёт один раз замкнутую кривую, соединим точки A и R отрезком прямой. Отрезок AR по направлению и по величине представляет собой вектор-потенциал, создаваемый замкнутой кривой в точке P.
Потенциальная энергия магнитной оболочки, помещённой в магнитное поле
423. Мы уже показали в п. 410, что потенциальная энергия оболочки с мощностью , помещённой в магнитное поле с потенциалом V, равна
M
=
l
dV
dx
+
m
dV
dy
+
m
dV
dz
dS
,
(12)
где l, m, n - направляющие косинусы внешней нормали к оболочке, проведённой наружу с положительной стороны; поверхностный интеграл берётся по всей оболочке.
Этот поверхностный интеграл можно теперь преобразовать в криволинейный с помощью вектор-потенциала магнитного поля, записав
M
=
–
F
dx
ds
+
G
dy
ds
+
H
dz
ds
ds
,
(13)
где интегрирование производится однократно по замкнутой кривой s, ограничивающей магнитную оболочку, а ds направлено против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оболочки.