Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Силу, которую следует приложить к произвольной переменной qr, мы обозначим через Fr. Система сил (F) механически эквивалентна (благодаря наличию связей) той произвольной системе сил, которая в действительности производит движение.
Импульсы
558. Когда тело перемещается, сохраняя неизменной свою конфигурацию по отношению к действующей на него силе (как, например, в случае силы, действующей на одиночную частицу вдоль линии её движения), то движущая сила измеряется скоростью увеличения импульса. Если F есть движущая сила, а p -импульс, то F=dp/dt, откуда p=Fdt.
Интеграл от силы по времени называется Импульсом силы, поэтому мы можем утверждать, что импульс (количество движения) тела равен импульсу силы, который переводит это тело из состояния покоя в данное состояние движения.
В случае связанной системы, находящейся в движении, её конфигурация непрерывно меняется, причём быстрота этого изменения зависит от скоростей (q), и мы не можем уже предполагать, что импульс системы равен интегралу по времени от действующей на него силы.
Но приращение любой переменной q не может превышать q't, где t - время, за которое происходит приращение, а q' - наибольшее значение скорости за это время. Очевидно, что для системы, движущейся из состояния покоя под действием сил одного направления, максимальной является конечная скорость.
Если конечная скорость и конфигурация системы заданы, мы можем представлять себе, что скорость сообщается системе за очень малое время t и что начальная конфигурация отличается от конечной на величины q1,q2,…, которые соответственно меньше величин q1t,q2t,….
Чем меньшим предполагается приращение времени t, тем большими должны быть приложенные силы, но интеграл по времени от каждой силы, или импульс каждой силы, останется конечным. Предельное значение импульса силы при уменьшении интервала времени до нуля определяется как мгновенный импульс силы, а импульс системы p, соответствующий любой переменной q, определяется как относящийся к той же самой переменной импульс силы, при котором система мгновенно переводится из состояния покоя в заданное состояние движения.
Такой подход, согласно которому импульсы системы могут создаваться в результате действия на покоящуюся систему мгновенных импульсов сил, вводится лишь как способ определения величины импульсов, ибо импульсы системы зависят только от мгновенного состояния её движения, но не от процесса получения этого состояния.
В связанной системе импульс, соответствующий любой переменной, является в общем случае линейной функцией скоростей всех переменных вместо того, чтобы быть величиной, пропорциональной скорости, как это имеет место в динамике одной частицы.
Импульсы силы, необходимые для мгновенного изменения скоростей системы от q1,q2,… до q1',q2',…, очевидно, равны изменениям импульсов, относящихся к различным переменным p1'-p1, p2'-p2.
Работа, совершаемая малым импульсом силы
559. Работа, совершаемая силой F1 за время действия импульса силы, равна пространственному интегралу от силы, или
W
=
F
1
dq
1
, =
F
1
q
1
dt
.
Если q1' -наибольшее, а q1'' -наименьшее значение скорости q1 за время действия силы, то работа W должна быть меньшей, чем q1Fdt, или q1'(p1'-p1), и большей, чем q1''Fdt, или q1''(p1'-p1).
Если мы теперь предположим, что импульс силы Fdt будет беспредельно уменьшаться, то величины q1' и q1'' будут сближаться и в конечном счёте совпадут с величиной q1; значит, мы можем написать p1'-p1=p1, так что совершенная работа в пределе будет равна W1=q1p1, или работа, совершаемая очень малым импульсом силы, в пределе равна произведению импульса силы на скорость.
Приращение кинетической энергии
560. Когда на приведение в движение консервативной системы затрачивается некоторая работа, то системе сообщается энергия, в результате у неё появляется способность совершать равное количество работы на преодоление сопротивлений при переходе системы в состояние покоя.
Энергия, которой обладает система благодаря своему движению, называется кинетической энергией; эта энергия сообщается системе в форме работы, совершаемой силами, приводящими её в движение.
Если T - кинетическая энергия системы, и она за счёт действия бесконечно малого импульса сил с компонентами p1,p2,… становится равной T+T, то приращение T должно быть суммой количества работ, совершаемых составляющими импульса силы, или в формульном представлении
T
=
q
1
p
1
+
q
2
p
2
+…,
=
(qp)
.
(1)
Мгновенное состояние системы полностью определено, если заданы её переменные и импульсы. Следовательно, кинетическая энергия, зависящая от мгновенного состояния системы, может быть выражена через переменные (q) и импульсы (p). Этот способ представления T был введён Гамильтоном. Когда T выражена таким образом, мы будем отличать это при помощи индекса p, т.е. Tp.
Полная вариация Tp равна
T
p
=
dTp
dp
p
+
dTp
dq
q
.
(2)
Последний член может быть записан в виде
dTp
dq
q
t
,
он уменьшается вместе с t и в пределе, когда импульс силы становится мгновенным, исчезает.
Следовательно, приравнивая в уравнениях (1) и (2) коэффициенты перед p, получаем
q
=
dTp
dp
,
(3)
или, скорость, соответствующая переменной q равна частной производной от Tp по соответствующему импульсу p.
Мы пришли к этому результату, рассматривая импульсные силы и тем самым избежав рассмотрения изменения конфигурации системы за время их действия. Но мгновенное состояние системы оказывается одним и тем же во всех отношениях независимо от того, была ли система приведена в данное состояние движения из состояния покоя путём приложения к ней короткодействующих импульсных сил или же система пришла в это состояние каким-то другим способом, хотя бы и постепенным.