Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Другими словами, и переменные, и соответствующие скорости, и импульсы зависят от фактического состояния движения системы в данный момент, а не от его предыстории.
Следовательно, уравнение (3) одинаково справедливо, предполагаем ли мы, что состояние движения системы обусловлено импульсными силами или силами, действующими каким бы то ни было другим способом.
Мы можем поэтому устранить из рассмотрения импульсные силы вместе со всеми ограничениями, налагаемыми на продолжительность их действия и на изменения конфигурации системы в течение их действия.
Уравнения движения Гамильтона
561. Мы показали уже, что
dTp
dp
=
q
,
(4)
Пусть система движется произвольным образом, подчиняясь наложенным на неё связям, тогда вариации p и q будут равны
p
=
dp
dt
t
,
q
=
q
t
.
(5)
Отсюда
dTp
dp
p
=
dp
dt
q
t
, =
dp
dt
q
,
(6)
а полная вариация Tp равна
T
p
=
dTp
dp
p
+
dTp
dq
q
,
=
dp
dt
+
dTp
dq
q
.
(7)
Но приращение кинетической энергии появляется за счёт работы, совершаемой приложенными силами, т.е.
T
p
=
(
q
).
(8)
Вариации q, входящие в эти два выражения, независимы, и мы вправе приравнять в (7) и (8) коэффициенты при них. В результате получаем
F
r
=
dp
r
+
dT
p
,
dt
dq
r
(9)
где импульс pr и сила Fr, относятся к переменной qr.
Уравнений такого вида существует столько же, сколько и переменных. Эти уравнения получены Гамильтоном. Они показывают, что сила, соответствующая какой-либо переменной, представляется в виде суммы двух частей. Первая есть скорость увеличения во времени импульса, относящегося к данной переменной. Вторая часть есть скорость увеличения кинетической энергии, приходящейся на единицу приращения данной переменной при условии, что другие переменные, а также все импульсы остаются постоянными.
Кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости
562. Пусть p1,p2,… - импульсы, а q1,q2,… - скорости в данный момент времени, и пусть p1,p2,…, q1,q2,… - другая система импульсов и скоростей, таких, что
p
1
=np
1
,
q
1
=nq
1
,…
(10)
Ясно, что наборы p, q будут совместны друг с другом, если совместны наборы p, q.
Пусть теперь значение n изменяется на n. Работа, совершаемая силой F1 равна
F
1
q
1
=
q
1
p
1
=
q
1
p
1
nn
.
(11)
Если n увеличивается от 0 до 1, то система переводится из состояния покоя в состояние движения (q,p) и вся работа, затраченная на создание этого движения, равна
(
q
1
p
1
+
q
2
p
2
+…)
1
0
ndn
.
(12)
Но
1
0
ndn
=
1
2
,
а работа, затрачиваемая на создание движения, эквивалентна кинетической энергии. Отсюда
T
pq
=
1/2 (
p
1
q
1
+
p
2
q
2
+…)
,
(13)
где через Tpq обозначена кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости. Переменные q1,q2,… в это выражение не входят.
Таким образом, кинетическая энергия равна полусумме произведений импульсов на соответствующие скорости.
Выраженную в таком виде кинетическую энергию мы будем обозначать символом Tpq Она является функцией только импульсов и скоростей и не включает в себя сами переменные.
563. Существует и третий метод представления кинетической энергии, который обычно рассматривается как основной. Решая уравнения (3), мы можем выразить импульсы через скорости, а затем, вводя эти величины в (13), получим выражение для T, содержащее только скорости и переменные. Когда энергия T выражена в этом виде, мы будем отмечать её символом Tq. Именно в таком представлении кинетическая энергия фигурирует в уравнениях Лагранжа.
564. Ясно, что поскольку Tp, Tq и Tpq– представляют собой три различных выражения для одной и той же величины, то
T
p
+
T
q
–
2T
pq
=0
, или
T
p
+
T
q
–
p
1
q
1
–
p
2
q
2
– …
=0.
(14)
Отсюда, если варьируются все величины p, q, и q, то