Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
dTp
dp1
–
q
1
p
1
+
dTp
dp2
–
q
2
p
1
+…
+
dTq
dq1
–
p
1
q
1
+
dTq
dq2
–
p
2
q
2
+…
+
dTp
dp1
+
dTq
dq1
q
1
+
dTp
dp2
+
dTq
dq2
q
2
+…
=0.
(15)
Вариации p не являются независимыми от вариаций q и q, так что мы не можем сразу утверждать, что коэффициент при каждой вариации в этом уравнении равен нулю. Но из уравнений (3) мы знаем, что
dTp
dp1
–
q
1
=0,
…,
(16)
и поэтому члены, содержащие вариации p, исчезают сами по себе.
Теперь уже все оставшиеся вариации q и q независимы, так что, приравнивая нулю коэффициенты при q1 и т.д., мы находим
p
1
=
dTq
dq1
,
p
2
=
dTq
dq2
,
…,
(17)
или составляющие импульса равны производным от Tq по соответствующим скоростям.
Далее, приравнивая нулю коэффициенты при q1,…,
dTp
dq1
+
dTq
dq1
=
0,
(18)
или производная от кинетической энергии, выраженная как функция скоростей, равна по величине и противоположна по знаку производной от энергии T, выраженной как функция импульсов.
В силу уравнения (18) мы можем записать уравнение движения (9) так:
F
1
=
dp
1
–
dT
q
,
dt
dq
1
(19)
или
F
1
=
d
dt
dTq
dq1
–
dTq
dq1
(20)
Уравнения движения в такой форме были даны Лагранжем.
565. В предыдущих исследованиях мы избегали рассмотрения вида функции, выражающей кинетическую энергию через скорости или импульсы, и приняли для неё единственное явное выражение
T
pq
=
= 1/2 (
p
1
q
1
+
p
2
q
2
+…)
,
(21)
в котором кинетическая энергия выражена как полусумма произведений каждого импульса на соответствующую ему скорость.
Мы можем выразить скорости через частные производные от Tp по импульсам, как и в уравнении (3):
T
p
=
1
2
p
1
dTp
dp1
+
p
2
dTp
dp2
+…
.
(22)
Это показывает, что Tp является однородной функцией вторых степеней импульсов p1,p2,….
Мы можем также выразить импульсы через Tq и найдём
T
q
=
1
2
q
1
dTq
dq1
+
q
2
dTq
dq2
+…
,
(23)
откуда видно, что Tq есть однородная функция вторых степеней скоростей q1,q2,….
Если мы запишем
P
11
вместо
d^2Tq
dq1^2
,
P
12
вместо
d^2Tq
dq1dq2
, …
и
Q
11
вместо
d^2Tp
dp1^2
,
Q
12
вместо
d^2Tq
dp1dp2
, … ,
то, поскольку Tq и Tp являются функциями второй степени q и p соответственно, Q и P должны быть функциями только переменных q и не зависеть от скоростей и импульсов. Таким образом, мы получаем выражения для T:
2T
q
=
P
11
q
1
^2
+
P
12
q
1
q
2
+…,
(24)
2T
p
=
Q
11
p
1
^2
+
Q
12
p
1
p
2
+….