Чтение онлайн

– Вполне!

– Итак, надо отметить, что в науке время от времени бывают некоторые нежданно разительные перемены. То есть если рассуждать впоследствии, то поймешь, что они не такие уж "нежданные", а, наоборот, подготовлялись издалека, хотя самое решение вопроса сперва кажется совершенно неожиданным. Понимаете вы меня?

Тут уж Илюше пришлось признаться, что он не очень понимает, о чем идет речь.

– Ну вот, - сказал, задумываясь чуть не на каждом слове, Мнимий, - возьмем алгебру. Самую обыкновенную, которую вы в школе учите. Это просто буквенное исчисление, не так ли? А ведь всякий ученик прекрасно знает, какое это облегчение для решения задач.

– 425 -

– Конечно, - согласился Илюша, - алгебраически решать задачи гораздо проще, чем с арифметикой возиться!

– Согласен! Но давайте разберем, как это случилось.

Ведь всякий замечал, что много есть на свете задач очень друг на друга похожих, то есть, как говорится, задач одного типа. Вот на этом-то наблюдении и родилась алгебра. Надо было еще получить некоторый толчок - догадаться, что вместо чисел можно употреблять буквы. Новое в науке родится путем наблюдения над своей собственной работой - то есть над решением разных задач, - а затем путем выводов из этих наблюдений. И, наконец, путем построения такого общего способа (или метода), который помог бы нам воспользоваться тем, что мы нашли наблюдением, а метод этот и был буквенным исчислением.

– А он откуда взялся?

– Он был в зачатках еще у египтян и у греков. Затем индусы, а за ними арабы заметили, что способы решать арифметические задачи могут быть сведены к нескольким типам - ну, хотя бы к уравнениям с одним неизвестным, - и описали это словесно. Возникла так называемая риторическая алгебра, не очень, конечно, удобная, но все-таки более совершенная по сравнению с простой арифметикой [37] . А уж потом пришли и буквы, но путь им был расчищен при помощи риторической алгебры.

– Значит, так, - решил Илюша, - сперва мы наблюдаем, замечаем важные особенности при пользовании старыми способами, а затем на основании этих наблюдений и рассуждений уже строится новая наука, то есть новый ее раздел.

– Правильно, - согласился Мнимий, - такие весьма важные перемены и бывают, как я выразился, "нежданно разительными". Такие нововведения, обобщающие большой опыт, дают огромные результаты и сразу двигают науку вперед.

Проходит несколько десятилетий - и науку уже узнать нельзя, так быстро она развивается на новом рубеже. Арабы построили алгебру, ее узнали в Европе, а затем сразу раздаются мощные голоса Виеты и Декарта. И вот уже та алгебра, которую вы учите в школе, построена. И все становится иным, появляются возможности строить еще нечто совершенно новое.

– А когда это случилось?

– Арабская алгебра родилась примерно в восьмом или девятом веках, а распространять ее в Европе стали примерно с двенадцатого века. Я имею в виду славного Ал-Хорезми.

– 426 -

Прибор Платона.

В это же время появляются сочинения европейцев, уже освоивших алгебру. В начале шестнадцатого века все это было в Европе освоено, развито и вот тут-то Европа встает на новый путь развития. Сочинения Архимеда и Аполлония переведены и напечатаны. Начинаются новые труды. Они как бы вмещают все, что Европа унаследовала от арабов (а стало быть, и от индийцев) и от Древней Греции. И теперь начинаются плодотворнейшие труды по объединению того и другого. Если труды европейцев, которые привели к интегральному и дифференциальному исчислению, были завершением ТРУДОВ древних, шедших в том же направлении, то с шестнадцатого века началось еще одно движение: новые достижения риторической алгебры были впервые успешно применены к решению алгебраических уравнений высших степеней, например кубических.

– А раньше их совсем не умели решать?
– спросил Илюша,

– 427 -

Одна средняя пропорциональная и один прямой угол.

– Опыты и частные решения были. Мы вам рассказывали о способе Двух средних пропорциональных и о способе Менехма (в Схолии Пятнадцатой - способ двух парабол). Но все это были геометрические способы, которые не обладали общностью, то есть не могли быть применены для решения любой задачи, которая приводит к кубическому уравнению.

– Мы рассматривали, кажется, тогда, - заметил Илюша, - пропорцию Гиппократа:

а : х = х : у = у : b

и ее алгебраическое решение, а как греки решали, мы как будто не говорили.

– Ну что ж, - сказал Радикс, - можно и это припомнить.

Для решения этой задачи - для удвоения куба - можно пользоваться так называемым "прибором Платона", который легко представить тебе в виде двух плотничьих наугольников, то есть деревянных прямых углов, как бы прямоугольных треугольников без гипотенузы. Начинаем с чертежа, где изображены две прямые, пересекающиеся под прямым углом. Затем берутся два угольника и прикладываются друг к другу так, чтобы они образовывали два прямых угла. Нетрудно рассудить, что если даны длины отрезков а и b, то из двойной пропорции Гиппократа, которую я только что привел, можно получить:

х3 = a2b; у3 = ab2;

и, положивши b = 2а, получаем:

Все это так сложно формулируется потому, что у Евклида в его Началах (книга IX) степени - квадраты, кубы и так далее - так и вводятся, через пропорции, и опираются на известные свойства геометрической прогрессии:

1, x, x2, x3, 4 ... xn

– 428 -

где ясно, что каждый член является средней геометрической между двумя своими соседями справа и слева, как например:

х2 = √(х • x3 )

а четыре последовательных члена связаны двойной непрерывной пропорцией:

1 : х = х : х2 = х2 : х3,

которой и пользуется Гиппократ. Теперь возвращаюсь к построению: циркуль дает одну среднюю пропорциональную, которую мы разбирали в Схолии Пятнадцатой, тогда как два прямых угла действуют словно два объединившихся циркуля, они дают нам разом две средних, как это ясно из другого чертежа. Прямой угол мы всегда можем себе представить опирающимся на диаметр некоторой окружности, не так ли?.. А если у нас имеются два прямых угла, причем их всегда можно сдвигать и раздвигать так, что эти диаметры воображаемых окружностей могут изменяться (и при этом независимо друг от друга), то мы получаем особый прибор вроде двоякого циркуля, который может дать нам сразу две средние пропорциональные, те самые, которые требуются для пропорции Гиппократа.

Принцип прибора Платона.

– 429 -

– По-моему, - сказал Илья, внимательно осмотрев чертежи Радикса, - как будто все правильно. Какой интересный этот способ двух прямых углов! И если а = 1, то икс и будет корнем кубическим из двух. Все верно.

– Прекрасно!
– похвалил Мнимий.
– Итак, после этого поучительного примера я могу продолжать свой рассказ. Алгебра дала ученым формулу (а формула - это ведь и есть самое значительное завоевание алгебры!) для решения любого квадратного уравнения. В шестнадцатом веке ученые заинтересовались алгебраическим решением кубического уравнения, о котором еще в начале того же века Лука Пачиоли, итальянец, говорил, что эта задача столь же непосильна для науки, как и квадратура круга. Конечно, надо все-таки принимать во внимание, что наука, развиваясь, ставит себе все более и более сложные задачи, а для их разрешения, понятно, требуются все более сложные способы. Вот с одной такой необычайной сложностью ученые и столкнулись в шестнадцатом веке. Понадобилось без малого триста лет, чтобы разгрызть этот орешек! О нем-то и будет идти речь. Задачка была особенная. Древние почти ничего здесь не сделали, европейцам все пришлось изучать и рассматривать заново. Арабы тоже брались за этот вопрос, старательно изучали частные случаи, многое изучили и придумали, но по части именно алгебраической у них не получилось. Пачиоли прямо говорил, что решение таких уравнений невозможно, ибо они "диспропорциональны", то есть невыразимы с помощью пропорций, что, разумеется, неосновательно, как это ясно из Гиппократова решения задачи о двоекубии. Как неосновательны были и сетования Пачиоли насчет квадратуры круга, но Архимед тогда еще очень был мало известен... И, наконец, в городе Болонье в шестнадцатом веке напали на алгебраическое решение. Оно...

– А какое это было решение?

– А вот сейчас его продемонстрируем. Сперва надо сказать еще несколько слов об одном особом способе решать квадратные уравнения, вам хорошо известные. Вы знаете способ, который построен на выделении точного квадрата. Но можно действовать еще и по-иному. Выходит не хуже. Если уравнение представлено в двучленной форме, то есть вот так:

xn = a

то решить его нетрудно (разумеется, мы полагаем, что а больше нуля, то есть положительное число), какова бы ни была его степень. Надо только извлечь корень данной степени, а это вопрос разрешимый...