Чтение онлайн

– Да так уж повелось от тех времен, когда вместо "отразилось" говорили "отобразилось". Это не так уж давно было, примерно во времена Лобачевского. Это слово встречается и у Гоголя. Имейте также в виду, что только под пером великого Эйлера мы получили все права гражданства в математике.

С вашего разрешения мы вернемся сейчас еще на некоторое время к решению уравнений. Тут вы и узнаете, как мы появились на белый свет, что мы помогли узнать математикам и как они с нашей помощью стали открывать одну тайну за другой.

– Ну, Илюша, как дела?
– спросил с усмешкой Радикс-

Тебе все ясно?

– Не очень!
– признался Илья со вздохом.
– Нет, не очень.

А нельзя ли как-нибудь так придумать, чтобы не было двух разных плоскостей, а то меня путает, что их две? Ведь на самом-то деле это одно уравнение, а вовсе не два?

– Справедливо!
– согласился Мнимий.
– Действительно, одно.

– Может быть, попробовать еще?
– предложил Радикс.
– Возьмем еще одну параболу. Уравнение ее напишем так:

z = х2– 8х + q.

Значит, свободный ее член у нас обозначается теперь буквой q.

Если попробовать решить квадратное уравнение:

х2– 8х + q = 0,

мы получим...

– ...вот что!
– сказал Илюша и написал:

Значит, пока наше q меньше шестнадцати, корни будут действительные, а если q больше шестнадцати, то комплексные.

– Разумеется!
– согласился Мнимий.

– А когда q равно в точности шестнадцати, парабола только касается оси абсцисс в точке, равной четырем. Если же q равно нулю, то оба корня будут действительные - один равен нулю, а другой - восьми. Но только... как же нам теперь увидать еще и комплексные корни?

– Не спеши, - отвечал Радикс, - сейчас мы все это соорудим. А уж ты следи внимательнее за этим новым тонким и умным волшебством. Нам ведь нужно определить, существуют ли такие комплексные числа, чтобы при подстановке их в левую часть уравнения мы получили бы действительное число? Существуют ли, а если да, то каковы они?

– 419 -

– Тогда, - отвечал Илья, поразмыслив, - нам придется подставить в левую часть комплексное число (z+iy), а затем посмотреть, что из этого выйдет. Получится, значит, так:

r = (х + iy)2– 8(х + iy) +q= (x2– y2– 8x + q) + i{2xy-8y).

Мне кажется, что это выражение может оказаться действительным единственно только в том случае, если вся скобка, на которую умножается i, будет равна нулю.

– Так!
– согласился Мнимий.
– Верно. Это дело! А в каком случае так оно будет?

– Если, - отвечал мальчик, - я перепишу эту скобку немного иначе:

2ху - 8у = 2у(х - 4),

то ясно, что это может произойти только в двух случаях, либо игрек равен нулю (ну, тут все и так ясно, говорить нечего!), либо икс равен четырем.

– Хорошо!
– сказал Мнимий, улыбаясь.
– Теперь уж у нас все готово, и мы можем приступить к нашему волшебству, которое нам все и покажет в полной наглядности, как оно и полагается в нашем волшебном царстве, построенном на поучение самым любознательным и дерзновенным юношам...

– Дерзновенным!
– с усмешкой повторил Радикс.
– Но я слышал, как друг Пушкина, замечательный русский поэт и мыслитель Евгений Баратынский однажды написал:

Надейтесь, юноши кипящие!

Летите, крылья вам даны...

А ведь так оно и полагается, дружище, в нашем светлом волшебном и вполне серьезном царстве для любознательных ребят!

– Ура!
– закричал Илья.
– Давайте ваше новое волшебство. Вы уж такие волшебники...

– Потише ты!
– возразил Радикс.
– Не спеши. Поспеешь!

Это будет штучка довольно затейливая. Начнем с того, что это новое волшебство будет не на плоскости, а в пространстве.

– В трехмерном?
– робко пропищал Илья.

– Неужто тебе трехмерного мало?
– свирепо огрызнулся Радикс.
– Можно и четырехмерное, да ты испугаешься! Ну!

Смотри во все глаза.

Радикс медленно и важно махнул рукой. И тотчас же перед Илюшей возникла плоскость, где были начерчены обыкновенные декартовы координаты (икс, игрек, как оно и полагается!).,

– 420 -

Направо от начала координат была проведена еще одна прямая, параллельная оси игрек, как раз в том самом месте, где икс равнялся четырем.

– Смекаешь?
– спросил Радикс, указав Илье на эту четверку.

– Смекаю...
– несмело откликнулся Илья, - то есть это та самая четверка, при которой моя скобка становится равной нулю? Так или нет?

– Именно!
– отвечал ему его друг.

Смотри далее... Да смотри в оба! Полагаем твое q равным нулю... А теперь...

Тут Илюшина плоскость потихонечку повернулась и легла горизонтально, повиснув в воздухе примерно в сантиметрах шестидесяти от пола. Да так и застыла. Как только это произошло, из каждой точки креста, образованного осью иксов и новой прямой, которая пересекла ось иксов в точке, равной четырем, начали постепенно расти перпендикуляры к этой самой плоскости, которая и была плоскостью (х + iy), то есть плоскостью комплексных векторов (следи внимательней!).

И тут, опираясь на эти перпендикуляры и пересекая ось иксов (там, где игрек равен нулю), из концов этих перпендикуляров выросла парабола. Самая настоящая парабола с уравнением:

z = х2– 8х.

А уравнение сейчас же засветилось справа сбоку красным огнем, чтобы Илья не путался! Затем (смотри хорошенько!) и-* прямой в новой вертикальной плоскости (опять же перпендикулярной к висящей в воздухе плоскости комплексных векторов) возникла еще одна парабола с уравнением:

z = 42– у2– 8•4 = - у2– 16.

– 421 -

Теперь перед Илюшей было уже две параболы. Мнимий подошел совсем близко к этой высоковолшебной модели и мягким прикосновением своих волшебных пальчиков жестко скрепил эти две параболы так, что они оказались соединенными и своих вершинах, а плоскости их оказались перпендикулярными одна к другой.

– Видишь?- спросил Радикс.
– Теперь смотри, что у нас будет получаться далее, когда мы начнем увеличивать постоянный член, то есть это твое q. Следи внимательно за этой фигурой из двух соединенных парабол, не отрывая глаз.