Чтение онлайн

1 В основу общего рассмотрения применения квантовой теории к атомным системам Планк (Beri. Вег., 1918, стр. 435) положил физические принципы, существенно отличающиеся от наших основных постулатов; в качестве необходимого условия для квантования принимается, что для систем с более чем одной степенью свободы, кроме интеграла энергии, существует по крайней мере s-1 других однозначных интегралов уравнений (1), которые в 2s-мерном фазовом пространстве могут служить для определения s-мерных областей, внутри которых во время движения остаётся изображающая точка. Как отметил Кнезер (Math. Ann., 1921, 84, 277), такое требование по существу тождественно наличию в общем решении уравнений движения свойств периодичности указанного типа.

§ 2. Определение стационарных состояний однократно и многократно периодических систем

Рассмотрим в качестве такого рода системы такую, для которой любое движение, описываемое уравнениями (1), характеризуется тем, что, несмотря на случайный характер равномерного поступательного движения системы в целом, смещение каждой отдельной частицы в пространстве может быть разложено в ряд гармонических колебаний. Смещение частицы в заданном направлении может быть представлено как функция времени

=

C

1…u

cos 2

[

(

1

1

+…+

u

u

)t

+

1…u

],

(2)

где 1,…,u — так называемые частоты основных колебаний, число которых u мы назовём «кратностью периодичности». Суммирование должно производиться но всем целым значениям чисел 1,…,u. Однозначность указанного решения обусловлена тем, что величины 1,…,u не связаны между собой соотношением вида

m

1

1

+…+m

u

u

=0,

(3)

где m1, …, mu — последовательность целых чисел.

Стационарные состояния такой системы определяются совокупностью условий, которые могут рассматриваться как обобщение первоначальной гипотезы Планка об особых состояниях простого гармонического осциллятора. Эти правила квантования, число которых равно степени периодичности, могут быть записаны в следующей форме:

J

1

=n

1

h,

…

J

u

=n

u

h,

(A)

где h — постоянная Планка, n1, …, nu — ряд целых чисел, так называемых квантовых чисел, a J1, …, Ju — некоторые величины, определяющие движение системы и тесно связанные со свойствами её периодичности. Эти величины проще всего определить как сопряжённые моменты некоторого числа аналитических переменных, которые целесообразно обозначить как «униформированные» и которые могут характеризоваться следующим образом.

Входящие в уравнение (1) обобщённые координаты q1, …, qs и канонически сопряжённые им импульсы p1, …, ps могут быть выражены с помощью следующей новой системы из s пар канонически сопряжённых переменных:

w

1

, w

2

, …, w

u

,

1

,

2

, …,

s-u

,

J

1

, J

2

, …, J

u

,

1

,

2

, …,

s-u

,

(4)

при этом первый ряд переменных соответствует координатам q в канонических уравнениях (1), а второй — импульсам p. Эти новые переменные должны удовлетворять следующим трём условиям.

I. Величины p и q являются периодическими относительно каждой из переменных w1, w2, …, wu с периодом, равным 1, т. е. любая координата qr может быть записана в виде бесконечного тригонометрического ряда от многих переменных

q

r

=

C

1…u

cos 2

(

1

1

+…+

u

u

+

1…u

),

(5)

где C и зависят только от J, и , а суммирование производится по всем комбинациям целых чисел 1, …, u.

II. Энергия системы, рассматриваемая как функция новых переменных, зависит только от величин J1, …, Ju. Согласно каноническим уравнениям, это условие влечёт за собой то, что в процессе любого движения переменные J1, …, Ju, и остаются постоянными, тогда как переменные w1, …, wu изменяются линейно во времени

w

r

=

r

t

+

r

(r=1, …, u),

(6)

где

r

=

E

Jr

(r=1, …, u).

(7)

Тогда из соотношения (6) и условия I следует, что в заданном направлении любая координата qr (и тем самым составляющие результирующих электрических моментов системы) может быть выражена в зависимости от времени с помощью соотношения, полученного из формулы (2).

III. Величины Jr, в определении которых остаётся неопределённой аддитивная постоянная, должны быть определены таким образом, чтобы интеграл, распространенный на механическое движение системы,

t

t0

p

r

dq

r

,

называемый обычно «действием» и не зависящий от выбора координат, для любого движения системы отличался бы от «униформированной» величины действия,

t

u

t0

1

J

r

dw

r

=

(t-t

0

)

J

r

w

r

,

(8)

только множителем, периодически зависящим от времени.

Предположение об отсутствии линейного соотношения типа (3) между величинами r не означает, однако, ограничения общности применительно к униформированным переменным. При наличии такой связи переменные J и w всегда можно было бы заменить путём соответствующего преобразования линейной комбинацией этих переменных с целочисленными коэффициентами, в результате чего число u пар переменных Jr и wr уменьшится на единицу при одновременном увеличении на единицу числа пар сопряжённых величин и , которые мы будем называть постоянными орбиты 1.