Чтение онлайн

(J

r

'-J

r

'')

1

.

r

Если, с другой стороны, мы рассмотрим область больших квантовых чисел и положим Jr' = nr'h и Jr'' = nr''h то в этой области будет содержаться

(n

r

'-n

r

'')

r

квантовых состояний, причём каждому стационарному состоянию может быть поставлена в соответствие область фазового пространства объёмом hr.

1

См. I, ч. 1, стр. И. Так как первоначальное исследование Эренфеста (Phys. Zs., 1914, 15, 660) не учитывало обсуждаемой здесь формы квантовой теории, основанной на постулате существования дискретных стационарных состояний, а опиралось на возможность непрерывного спектра состояний движения в фазовом пространстве, то было бы полезно привести вывод указанного выше условия инвариантности статистического веса, очень короткий и наглядный, если при этом опираться непосредственно на наш основной постулат. Рассмотрим большое число N одинаковых атомов, различные стационарные состояния которых мы обозначим просто индексом , а энергию и статистический вес определённого состояния — соответственно через E и g. Вероятность статистического распределения, при котором число атомов в -м состоянии равно N, как известно, задаётся выражением: W=N!

 

gN

N! .

Разложение, для которого W при заданном значении общей энергии E=

 

N E

максимально, определяется далее выражением N = C g e– E/kT ,

где k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, а константа C определяется из условия

 

N = N .

С помощью соотношения Больцмана S=k·ln W

находим выражение для энтропии S системы с учётом формулы Стирлинга: S=k

 

N ln g– k

 

N ln N + kN ln N .

Если теперь рассмотрим термодинамический процесс, при котором каждый атом будет подвержен одному и тому же преобразованию, т. е. все атомы подвергаются воздействию одних и тех же внешних сил, и примем, что вся система в целом производит работу A, которая приводит к выделению количества тепла Q, то мы получим Q = E + A =

 

N E–

 

N E =

 

E N .

При этом E представляет собой изменение энергии соответствующего стационарного состояния, вызванное преобразованием. Следует заметить, что справедливость выражения для Q не связана с предположением, что поведение атома в процессе перехода описывается законами классической механики; наоборот, это уравнение должно рассматриваться как непосредственное следствие применимости понятия энергии к этому преобразованию.

Однако, с другой стороны, согласно второму началу термодинамики, мы имеем: Q = TS = kT

 

ln

g

N N + kT

 

N

g g ,

что с помощью приведённого выше равенства может быть записано также в виде Q =

 

E N + CkT

 

eE/kT g .

Сравнивая это выражение для Q с приведённым выше, получаем, что для любой температуры последний член должен обращаться в нуль; в соответствии с утверждением, приведённым в тексте, это возможно только при g.

1 Определение статистического веса для вырожденной системы более подробно изложено в I (см. стр. 35—37, 107, 133). Здесь можно лишь напомнить о том, что на основе термодинамической стабильности статистический вес стационарных состояний вырожденной системы может быть определён путём рассмотрения множества невырожденных систем, содержащих вырожденную систему в качестве предельного случая. Каждому стационарному состоянию последней системы должен быть приписан вес, равный сумме весов тех состояний невырожденной системы, которые в предельном случае переходят в него. Требование, чтобы эта сумма для всех множеств невырожденных систем, содержащих в качестве предельного случая вырожденную систему, имела бы одно и то же значение, в некоторых случаях является подтверждением возможности исключения отдельных квантовых состояний, о которых речь пойдёт ниже.

1 Это следует просто из условия, что величины Jr, wr получаются из величин pr, qr путём точечного преобразования и что, согласно известному положению механики, при одном из таких преобразований элемент объёма фазового пространства сохраняет свою форму, так что имеем

 

r dpr dqr =

 

r dJr dwr ,

откуда, с учётом определения униформированных переменных wr непосредственно следует приведённое выше выражение (ср.: I. М. Burgers. Dissertation, S. 254).

До сих нор мы рассматривали веса стационарных состояний в первую очередь в их связи со статистическим применением квантовой теории. Однако, с другой стороны, эти веса, естественно, выражают свойства стационарных состояний, которые сами не обязательно связаны с вопросами статистического распределения. Это особенно мешает при переходе к проблемам строения атома. Тут мы снова подходим к тому, чтобы исключить определённые мыслимые квантовые состояния и, следовательно, приписать им нулевой вес. При этом речь идёт не только о тех случаях, когда более детальное рассмотрение соответствующего движения приводит к тому, что это движение рассматривается как несоответствующее стационарному состоянию, но и о тех случаях, где с помощью термодинамически обоснованного закона инвариантности веса при непрерывном преобразовании можно прийти к тому, чтобы исключить все те квантовые состояния, которые путём преобразования могут быть переведены в одно из упоминавшихся сингулярных состояний 2. В следующих статьях мы остановимся на этих вопросах более детально.

2 См. I, ч. 1, стр. 37; ч. 2, стр. 107.

Приведённые здесь рассуждения позволят, по-видимому, показать, в каком направлении следует искать формулировку законов квантовой кинетики, о которой шла речь в начале предыдущего параграфа. Существование и стабильность стационарных состояний могут быть формально истолкованы так, что среди кинематически возможных движений только эти состояния имеют отличную от нуля весовую функцию. Таким образом, требование, чтобы законы, регулирующие частоту процессов перехода при взаимодействии атомных систем (вероятность, см. гл. III), в области больших квантовых чисел переходили в непрерывные законы классической механики при введении вместо указанной дискретной весовой функции выражения соответствующего фазовому пространству, но аналогии с рассмотрением в § 2 гл. II, может, по-видимому, послужить отправным пунктом исследования этих законов квантовой кинетики.

ГЛАВА II ПРОЦЕССЫ ИЗЛУЧЕНИЯ

§ 1. Второй основной постулат

Второй постулат квантовой теории для замкнутой атомной системы содержит более детальную характеристику связей, имеющих место при обмене энергией между атомом и электромагнитным полем излучения. Согласно первому постулату, такой обмен возможен только в тех процессах, которые могут быть описаны как переходы между двумя стационарными состояниями. Второй постулат гласит, что испускание излучения, связанное с таким переходом, представляет собой излучение последовательности чисто гармонических волн, частота которых определяется так называемым условием частот: