Чтение онлайн

h

=

E'-E''

(B)

где E' и E'' означают энергию атома в обоих стационарных состояниях. Ниже будет сформулировано требование, чтобы каждый процесс поглощения, при котором под действием электромагнитного излучения атом переходит из одного стационарного состояния в другое, был обусловлен облучением волнами, частота которых даётся тем же соотношением (В).

Этот постулат приводит к усилению разрыва с классической электродинамикой, намеченного ещё первым постулатом. Как уже упоминалось, каждое движение частиц некоторой атомной системы, согласно классической теории, является причиной возникновения электромагнитного излучения, свойства которого, во всяком случае в первом приближении, будут определяться зависимостью полного электрического момента системы от времени. Излучение замкнутых систем, движение которых без учёта реакции излучения обладает свойствами периодичности, необходимыми для определения стационарных состояний, и у которых поэтому смещение каждой частицы может рассматриваться, согласно выражению (2), как сумма некоторого числа гармонических колебаний, в каждый момент времени может быть представлено в первом приближении как суперпозиция нескольких систем волн; при этом частота каждой из систем равна одной из частот, появляющихся в движении, 11+…+uu, а интенсивности определяются выражением

E=

2

3

(2)

4

e2

c2

4

A

2

t

,

(19)

где E — энергия, излучаемая за время t, а A2– среднее значение квадрата амплитуды колебаний гармонических компонент электрического момента, относящихся к соответствующим частотам. Ниже будет показано, что каждый обмен энергией между атомом и полем излучения в соответствии с классической теорией обусловлен присутствием систем волн в этом поле, частоты которых близки к частоте одной из гармонических компонент электрического момента атома. Результат этого обмена зависит не только от амплитуд этих систем волн и соответствующих им компонент колебания, но также и от разности фаз между ними, причём таким образом, что в зависимости от величины этой разности фаз атом будет получать или отдавать энергию.

В соответствии с постулатами квантовой теории мы не только отказываемся от каждой такой непосредственной связи между движением атома и процессом испускания или поглощения, но и вынуждены ещё дальше отойти от обычного описания природы, принимая, что результат такого процесса зависит как от начального, так и от конечного состояния. Для процесса излучения эта связь отчётливее всего проявляется, пожалуй, в том, что на основе постулата одно и то же стационарное состояние атома может служить началом для совершенно различных процессов излучения, которые соответствуют переходу из этого состояния в другие стационарные состояния. Однако современная теория не позволяет связывать появление переходов с излучением или выбор между различными возможными процессами перехода непосредственно с каким-либо воздействием, которое мы до сих пор использовали при описании явлений. При этом мы естественно приходим к методу рассмотрения, который впервые был применён Эйнштейном в его выводе закона теплового излучения на основе постулата квантовой теории в данной здесь форме. Согласно этому способу рассмотрения, мы не интересуемся «причиной» появления переходов с излучением, а просто принимаем, что эти процессы подчиняются вероятностным законам. Итак, вместе с Эйнштейном примем, что в стационарном состоянии атом имеет некоторую вероятность перехода в состояние с меньшей энергией, который совершается спонтанно, т. е. без видимого внешнего повода, с испусканием излучения в течение заданного интервала времени. Эта вероятность, точно так же как и в процессах радиоактивности, пропорциональна величине интервала времени, а коэффициент пропорциональности, так называемый коэффициент вероятности 1, является характерным для рассматриваемых процессов перехода и зависит только от природы системы. В этой связи Эйнштейн подчеркнул формальную аналогию, которая характеризует эту гипотезу, несмотря на её чуждый представлениям обычной электродинамики характер. В классической электродинамике не идёт речь о вероятностных законах, а излучение, как было описано выше, считается обусловленным только самой системой, а не внешними причинами. В тесной связи с этой аналогией стоят введённые Эйнштейном предположения относительно действия внешнего излучения на атомную систему. Как уже указывалось выше, по классической теории облучение атома волнами с частотой, близкой одной из характеристических частот колебания системы, приводит в зависимости от разности фаз между волнами и колебаниями атома к увеличению или уменьшению энергии системы. По аналогии с этим Эйнштейн предположил, что результат облучения атомов волнами, частоты которых удовлетворяют соотношению (В), может быть описан следующим образом. Атомам, обладающим энергией E'', приписывается вероятность перехода в состояние с большей энергией E' при поглощении количества энергии h, тогда как атомы с энергией E' характеризуются вероятностью перехода в состояние с энергией E'' при испускании излучения с частотой . В обоих случаях коэффициент вероятности будет приниматься пропорциональным плотности энергии излучения для рассматриваемой частоты.

1 Теперь эти коэффициенты называют «коэффициентами Эйнштейна».— Прим. ред.

Несмотря на большое значение эйнштейновского способа рассмотрения, вследствие его несомненного успеха, во многих отношениях он может рассматриваться лишь как предварительное решение. Это видно уже из формулировки гипотезы, в которой непосредственно не включается в рассмотрение длительность процессов перехода, играющая, как мы увидим позднее, существенную роль в описании явлений. Приближённый характер этих предположений проявляется также в том, что для атомных систем, подвергающихся облучению столь большой интенсивности, что внешние электромагнитные силы уже не являются малыми по сравнению с силами, действующими между частицами в невозмущённой системе, описание стационарных состояний невозможно без учёта поля излучения. Последнее обстоятельство снова приводит нас к вопросу о квантово-теоретическом рассмотрении незамкнутых систем. К этому вопросу мы вернёмся несколько позже в настоящей главе.

§ 2. Принцип соответствия

Несмотря на принципиальные расхождения постулатов квантовой теории с классической электродинамикой, оказалось всё же возможным на основе соотношений (A) и (B) установить некоторым образом связь между процессом излучения и движением в атоме. При этом метод сопоставления даёт объяснение тому, что законы классической теории пригодны для описания явлений в некоторой граничной области. Это достигается тем, что различным возможным процессам излучения ставятся в соответствие различные гармонические компоненты колебаний, выступающие в описании движения атома; иными словами, принимается, что возможность перехода между двумя стационарными состояниями многократно периодической системы, характеризующимися квантовыми числами соответственно n1', …, nu', и n1'', …, nu'', сопровождающегося излучением, обусловлена теми гармоническими компонентами колебания в выражении (2) для электрического момента атома, для которых частота 11+…+uu удовлетворяет соотношениям

1

=n

1

', …, n

1

''

, …,

u

=n

u

', …, n

u

''

.

(20)

Поэтому такие компоненты мы назовём «соответствующими» компонентами колебаний, а сущность приведённого выше рассуждения —«принципом соответствия» для многократно периодической системы 1.

1 В работе I это название ещё не используется, но содержание принципа формулируется там как формальная аналогия между квантовой и классической теориями. Однако такая формулировка могла быть источником ошибок, поскольку, как мы увидим в дальнейшем, принцип соответствия должен рассматриваться как чисто квантово-теоретический закон, который никоим образом не может уменьшить контраст между этими постулатами и классической электродинамикой.

При исследовании условия того, что в области больших квантовых чисел описание явлений на основе рассматриваемого постулата асимптотически соответствует результатам классической теории, применимость которой к статистической проблеме, по-видимому, правомерна, для объяснения появления процесса излучения пользуются, как известно, упомянутым выше законом. Рассмотрим многократно периодическую систему, стационарные состояния которой определяются условиями (A). Из соотношения (B) с учётом уравнений (7) мы получим для частоты излучения при переходе из одного стационарного состояния с квантовым числом nr' в другое состояние с квантовым числом nr'' (r=1, …, u) выражение

=

1

h

[E'-E'']

=

1

h

r

dJ

r

.

(21)

Если квантовые числа nr' и nr'' велики по сравнению с их разностью nr'-nr'' вследствие чего движения в двух состояниях, характеризующихся этими квантовыми числами, отличаются друг от друга незначительно, то при интегрировании частоты в подынтегральном выражении можно считать постоянными. Учитывая это, а также условия (A), мы получаем асимптотическое соотношение

~

u

1

(n

r

'-n

r

'')

r

.

Итак, мы видим, что частота излучения асимптотически совпадает с частотой 11+…+uu гармонической компоненты колебаний, появляющейся согласно выражению (2), в движении системы, именно той частотой, для которой выполняются соотношения (20).

Что касается частоты появления различных возможных переходов, то на основании изложенного получаем, что в области больших квантовых чисел имеется связь между частотами компонент колебаний и частотами дуга волн, которые испускаются при переходе; исходя из этого предположим сначала, что интенсивность различных спектральных линий в этой граничной области приближённо определяется амплитудой соответствующей компоненты колебания электрического момента системы; она определяется таким же образом, как и в случае классической электродинамики в соответствии с формулой (19). Отсюда можно прийти к выводу, что переход с излучением обусловлен наличием соответствующих колебаний в движении атома. Что касается допустимости рассмотрения полученной асимптотической связи как общего закона квантовой теории процессов излучения, то следует напомнить следующее. Как и в упомянутом выше принципе соответствия, в указанной граничной области больших квантовых чисел речь идёт не о постепенном уменьшении различия между квантово-теоретическим описанием явлений излучения и представлениями классической электродинамики, а только об асимптотическом соответствии статистическим результатам. Как мы увидим далее, применимость этого принципа к освещению вопросов квантовой теории связана в первую очередь именно с этим пунктом.

Если нас интересуют абсолютные значения коэффициентов вероятности, введённых Эйнштейном в теорию теплового излучения, которые являются мерой частоты переходов, связанных с излучением, то следует отметить следующее. Приведённые выше рассмотрения позволят нам в области больших квантовых чисел легко вычислить эти коэффициенты с помощью амплитуд соответствующих гармонических компонент движения. Отсюда видно, что только в этой граничной области амплитуды в начальном и конечном состояниях приблизительно равны. Вообще же мы должны быть готовы к тому, что в двух различных состояниях как частоты этих компонент, так и рассматриваемые амплитуды могут быть совершенно различными. Однако возможность найти общее выражение для указанных коэффициентов с помощью механических символов, по-видимому, не может быть исключена. Подтверждением этого может служить замечание, что частота перехода между двумя любыми стационарными состояниями многократно периодической системы может быть выражена как простое среднее значение частот соответствующих колебаний в непрерывной последовательности состояний движения, надлежащим образом выбранной из общего решения уравнений (1). Снова рассмотрим переход между двумя стационарными состояниями, для которых квантовые числа в условиях (А) равны, например, nr' и nr''. Рассмотрим далее состояния, в которых переменные действия J1, …, Ju служащие для определения стационарных состояний, даются выражением

J

r

=

h[

n

r

''

+

(n

r

'-n

r

'')

],

где параметр может принимать все значения между 0 и 1. Как видно непосредственно из соотношений (2) и (3), выражение для частоты v излучения при переходе можно записать в следующем виде:

=

1

0

(n

r