Избранные научные труды
Шрифт:
T
=
Q
r
A
r
(1+s
r
)
.
Отсюда, обозначая среднее значение T через 0T, получаем
T
–
0
T
=
Q
r
A
r
s
r
.
Так как величины A велики, из формулы (7) мы получаем для вероятности того, что величина sr лежит в пределах от sr до sr + dsr,
W(s
r
)
ds
r
=
Ar
2
1/2
e
1/2 Arsr^2
ds
r
.
Подобным же образом, обозначая через W(T) dT вероятность того, что величина T лежит в пределах от T до T + dT, с помощью основной теоремы теории вероятностей получаем
W(T) dT
=
(2P
x)
– 1/2
exp
–
(T-0T)^2
2Px
dT
,
(8)
где
Px
=
1
Ar
(Q
r
A
r
)^2
=
Q
r
A
r
^2
.
При рассмотренных выше предположениях это может быть просто записано в виде
Px
=
Q^2
dA
.
Подставляя в это выражение значения Q и dA из формул (1) и (3) и интегрируя по p для каждого вида электронов в пределах от 0 до p, получаем:
P
=
4e4E4N
m2V4
n
1
1
a2
–
1
p2+a2
.
Предполагая, как и в предыдущем параграфе, что p велико по сравнению с a пренебрегая вторым членом под знаком суммы и подставляя значение a из формулы (2) в первый член, находим:
P
=
4e2E2M2
(M+m)2
Nn
.
(9)
Мы получили, таким образом, очень простое выражение, в которое входит только полное число электронов в единице объёма, но не входят ни скорость - или -частицы, ни характеристики межатомных сил.
Из формул (8) и (9) нетрудно вывести распределение вероятности толщин слоёв вещества, которые частицы с данной начальной скоростью пройдут до полной потери своей энергии. Полагая T = 0T(1+s), мы получаем для вероятности того, что s лежит в пределах от s до s + ds,
W(s) ds
=
u
2
1/2
e
– 1/2 us^2
ds
,
(10)
где
u
=
(0T)2
Px
=
P
0
T
,
(11)
причём — среднее значение T/x.
Если теперь предположить, что разброс пучка в поперечном направлении мал [это предположение неявным образом уже было нами использовано при выводе формулы (8)], то формула (10) даёт также вероятность того, что при заданной потере энергии T частица пройдет слой толщиной в пределах между x = 0x(1 + s) и x + dx = 0x(1 + s + ds), где 0x = 0T/. Чтобы найти вероятность W(R) dR того, что частица до полной потери энергии проникнет в слой толщиной в пределах от R до R + dR, разделим интервал 0 - T на большое число малых частей 1T, 2T, … . Обозначим величины u, x, и s, относящиеся к r-й части интервала, через ur, rx, r и sr. Расстояние, на которое проникает данная частица, равно
R
=
r
x
=
rT
r
(1+s
r
)
.
Отсюда, обозначая среднее значение пробега частицы через R0 получаем
R-R
0
=
rT
r
s
r
.
Точно таким же образом, как это было сделано при выводе формулы (8), мы теперь получаем
W(R) dR
=
(2U)
– 1/2
exp
–
(R-R0)2
2U
dR
,
(12)
где
U
=
rT
r
^2
1
ur
=
P
rT
r^3
,
или просто
U
=
P
T
0
dT
dx
– 3
dT
,
(13)
причём величина T/x заменена её средним значением dT/dx.
Формулы (8) и (9), а следовательно, и (12) и (13) были получены в предположении, что столкновения, испытываемые быстро движущейся частицей при прохождении через тонкий слой вещества, могут быть подразделены на группы таким образом, что изменение Q в пределах каждой группы мало, в то время как число столкновений в каждой группе велико. Условием справедливости этого предположения является требование, чтобы величина = (dA/dQ)/Q была бы велика но сравнению с единицей. Имея в виду формулы (1) и (3), получаем
=
Nn
x
(p^2+a^2)
.
(14)
Мы видим, что равна среднему числу электронов внутри цилиндра с радиусом p^2+a^2. Так как уменьшается с уменьшением p, нам достаточно рассмотреть его значение при p = 0. Подставляя значение для a, имеем
0
=
e2E2(M+m)2Nnx
M2mV4
.
Если мы рассмотрим газы при обычной температуре и давлении и подставим численные значения величин e, m, E, M, и N, получим для - и -лучей приближённое значение 0: