Чтение онлайн

dA

=

2Nn

xp dp

.

(3)

Если теперь пренебречь силами, действующими на электроны со стороны атомов, то среднее значение потерь кинетической энергии быстрой частицей при её проникновении в вещество будет определяться формулой

T

=

4e^2E^2Nnx

mV^2

p dp

p^2+a^2

,

(4)

в которой интегрирование распространено на все возможные значения p — от p = 0 до p = . Однако этот интеграл расходится. Таким образом, мы видим, что для получения согласия с экспериментом необходимо учесть влияние межатомных сил.

Будем считать, как и в электронной теории дисперсии, что электроны обычно находятся в положении устойчивого равновесия и при небольшом смещении совершают колебания около этих положений; частота этих колебаний, , имеет характерное значение для каждого электрона. При оценке действия межатомных сил удобно ввести понятие «времени столкновения», которое по порядку величины равно времени, необходимому - или -частице для прохождения расстояния p. Если эта величина очень мала по сравнению с периодом колебаний электрона, межатомные силы не успевают оказать существенное влияние на движение - или - частицы за время её пребывания внутри атома; поэтому энергия, переданная электрону, будет практически той же, как если бы электрон был свободен. В противном случае, когда время столкновения велико по сравнению с периодом колебаний, электрон ведёт себя как жёстко связанный, и переданная энергия будет очень мала. Таким образом, эффект межатомных сил сводится к введению в интеграл формулы (4) верхнего предела для p, равного по порядку величины значению V/. Строгое рассмотрение общего случая сопряжено со сложными математическими выкладками и вряд ли оправдано ввиду довольно скудных сведений о силах, которые удерживают электроны в их положениях равновесия в атоме. Однако для широкого круга экспериментальных приложений оказывается возможным внести существенное упрощение; получаемые при этом результаты с хорошей точностью не зависят от предположений о характере межатомных сил.

Вычисление полных потерь энергии - или -частицы сильно упрощается, если мы предположим, что при всех столкновениях, в которых межатомные силы оказывают существенное влияние на передачу энергии, смещение электрона из его положения равновесия при столкновении мало как по сравнению с p, так и по сравнению с максимальным смещением, из которого он в это положение возвращается. Легко показать, что смещение свободного электрона при столкновениях совпадает по порядку величины с введённым выше параметром a. Поэтому первое из двух рассмотренных выше предположений эквивалентно условию, что V/ велико по сравнению с a. Второе же предположение соответствует тому, что величина Q, получаемая при подстановке p = V/. в формулу (1), мала по сравнению с энергией W, необходимой для удаления электрона из атома. При этих условиях простой расчёт, детали которого приведены в предыдущей статье, показывает, что эффективный верхний предел p в интеграле (4) равен

p

=

k

2

·

V

,

где k = 1,123. Выполняя интегрирование по p от 0 до p и пренебрегая величиной a^2 по сравнению с p^2, имеем

ln

p

a

=

ln

kV^3Mm

2Ee(M+m)

.

Замечая теперь, что величина принимает разные значения 1, 2, … n для различных электронов атома, из формулы(4) получаем 1

T

=

4E^2e^2Nx

mV^2

n

1

ln

kV^3Mm

2Ee(M+m)

.

(5)

1 См. I, стр. 72.

Мы принимали выше, как это делается в обычной теории дисперсии, что в нормальном состоянии электроны в атоме находятся в покое. Однако в соответствии с ядерной моделью атома следует считать, что электроны вращаются по замкнутым орбитам внутри центрального ядра. В этом случае для справедливости приведённых выше расчётов необходимо выполнение условий, согласно которым скорость вращения электронов на орбитах была бы мала по сравнению со скоростью - или -частицы, а размеры орбит — малы но сравнению с V/. В одной из предыдущих статей 2 автор попытался приложить квантовую теорию излучения к ядерной модели атома. Было указано, что имеются серьёзные основания для предположения о том, что энергия каждого электрона в атоме W по порядку величины равна h, где h — постоянная Планка. В этом предположении было показано, что для атома, содержащего n электронов, наивысшая характеристическая частота электрона равна

=

22e3m

h3

n

2

.

Значение скорости обращения, диаметра орбиты и энергии W равны соответственно

V=

2e2

h

n, d

h2

22e2m

·

1

n

 и W=

22e4m

h2

n

2

.

2 N. Bohr. Phil. Mag., 1913, 26, 476 (статья 5, ч. II).

Рассмотрение этих выражений показывает, что принятые выше при вычислениях предположения выполняются тем лучше, чем меньше число электронов n в атоме. Подставляя численные значения e, m и h, мы видим, что в случае -частиц (V = 2·109 см/сек, E = 2e, M = 104m) эти условия выполняются при n < 10, а в случае -частиц (V = 2·1010 см/сек, E = e, M = m) — при n < 100. В соответствии с теорией Резерфорда число электронов в атоме примерно равно половине атомного веса (если атомный вес водорода принять за единицу). Поэтому, если справедливы главные предположения относительно механизма передачи энергии от -или -частиц к электронам, мы должны ожидать, что формула (5) будет удовлетворяться для поглощения -лучей в самых лёгких элементах, а в случае -лучей — также и для поглощения в более тяжелых элементах. Однако в случае -лучей надо помнить, что формула (1) была выведена в предположении о том, что V мало в сравнении со скоростью света. Мы вернёмся к этому вопросу в § 3, где рассмотрена вероятность разброса потерь энергии, испытываемых отдельными частицами.

§ 2. Распределение вероятности потерь энергии, испытываемых отдельными - или -частицами

Вопросы, обсуждаемые в этом параграфе, непосредственно связаны с вероятностью обнаружения данного числа частиц в заданный момент времени в небольшой ограниченной части большого объёма, в котором частицы распределены беспорядочно. Эта проблема была рассмотрена М. Смолуховским 1 который показал, что вероятность обнаружения n частиц даётся формулой

W(n)

=

n

n!

e

–

,

(6)

где e — основание натуральных логарифмов, а — среднее значение числа частиц в рассматриваемой части объёма. Если о очень велико, то это распределение вероятности с большой точностью может быть представлено формулой

W(s)ds

=

2

1/2

e

– 1/2 s^2

ds

,

(7)

где s определяется из соотношения n = (1+s), а W(s)ds обозначает вероятность того, что значение s находится между s и s+ds.

1 М. v. Smoluchowski. Boltzmann-Festschrift, 1904, S. 626; см. также: Н. Batemаn. Phil. Mag., 1911, 21, 746.

В указанной выше работе Герцфельд использовал формулу (7) для вычисления распределения вероятности того, что -частица с данной начальной скоростью проникнет в газ на расстояние R до своей остановки. Герцфельд сделал простое предположение о том, что для остановки частицы необходимо определённое число A столкновений с молекулами газа. Это число он принимал равным полному числу ионов, образованных данной частицей в газе. Число столкновений, испытываемых -частицей при проникновении её в газ на данное расстояние, равно числу молекул, находящихся в цилиндрическом объёме, осью которого является траектория частицы. Распределение вероятности числа столкновений может быть получено из приведённых выше формул, если под подразумевать среднее число столкновений. Поскольку предполагается, что A очень велико, разброс значений R для отдельных частиц будет очень малым. Поэтому вероятность того, что значение R заключено между R0(1+s) и R0(1+s+ds), где R0 — средняя величина пробега, в предположениях Герцфельда будет даваться просто формулой (7), в которой следует подставить = A. В рассматриваемой здесь теории такой расчёт не может быть проведён очень просто. Общее число столкновений не считается строго фиксированным, но предполагается, что энергия, теряемая -или -частицей при столкновениях с электронами, зависит от расстояния электронов до траектории частицы, непрерывно уменьшаясь с увеличением этого расстояния. Поэтому для того, чтобы наше рассмотрение было аналогично рассмотрению Герцфельда, необходимо разбить столкновения на отдельные группы, в каждой из которой величина потерь энергии частиц была бы примерно одинаковой.

Рассмотрим - или -частицу, проникшую в слой вещества толщиной x; разобьем все столкновения частицы с электронами на группы таким образом, чтобы в r-й группе расстояние p лежало бы в пределах от pr до pr+1.

Предположим теперь, что подобным образом можно разбить столкновения на такие группы, что число столкновений в каждой группе велико, а потери энергии Q при соударениях в пределах данной группы мало отличаются друг от друга. Пусть величина Q, соответствующая r-й группе, будет равна Qr. Пусть, далее, среднее число столкновений в этой группе равно Ar; действительное же число таких столкновений, испытываемых данной - или -частицей, равно Ar(1+sr). Полная потеря энергии частицей при прохождении через рассматриваемый слой даётся формулой