Чтение онлайн

Vt

r

F.

Подставляя сюда выражение для r и полагая (1 - 2)– 1/2 = , находим

F

1

=

peE

[(Vt)2+p2]3/2

, F

2

=

VteE

[(Vt)2+p2]3/2

.

Из этих формул мы видим, что сила в каждый момент времени задаётся тем же выражением, что и в обычной электростатике, если в нем заменить скорость V быстро движущейся частицы на V, а при расчёте перпендикулярной компоненты силы, кроме того, заряд частицы E заменить на E (при расчёте же параллельной компоненты последней замены производить не следует). При расчёте поправок, связанных с большой скоростью -лучей, мы должны поэтому рассматривать две компоненты силы по отдельности.

В случае свободного электрона легко видеть, что его скорость после столкновения, при котором a мало по сравнению с p, будет почти перпендикулярна направлению движения частицы. Следовательно, в этом случае при вычислении переданной энергии нам достаточно рассмотреть лишь компоненту силы, перпендикулярную к траектории частицы. Если V мала по сравнению с c, то из соотношения (1), пренебрегая a по сравнению с p, получаем

Q

=

2e2E2

mV2p2

.

Если в этом выражении заменить V на V и E на E, оно, очевидно, останется неизменным. Поэтому в случае свободных электронов при вычислении не возникает никакой поправки вследствие близости скорости -частицы к скорости света c. Однако задача несколько усложнится, если мы примем во внимание влияние межатомных сил. В этом случае необходимо видоизменить выражение для p. Влияние межатомных сил приводит к дополнительной передаче энергии, связанной с компонентой силы, параллельной траектории -частицы. При этом возникает нечто вроде резонансного эффекта, который вступает в игру, когда «время столкновения» по порядку величины совпадает с периодом колебаний электронов.

В предыдущей работе было показано, что вклад параллельной компоненты силы в величину T задаётся выражением 1

Z

=

2e2E2Nnx

mV2

.

1 См. I стр. 70—71. Выражение, выведенное в этой работе, имело вид: Z =

2e2E2Nnx

mV2 L, где L =

0

1

x [f(x)]2 dx , f(x) =

0

cos xz

(1+z2)3/2 dz При этом L обозначает часть более сложного выражения, использованного при определении p и оценённого численно. Однако величина L может быть получена просто, если учесть, что f''(x) -

1

x -f'(x) -f(x) =0. Это даёт L =

0 f'(x) [f''(x)-f(x)] dx =

1

2

[f'(x)]2– [f(x)]2

0 Поскольку f(0) = 1 и f'(0) = f = f' = 0, отсюда следует, что L=1/2.

Поэтому из формулы (17) следует, что вклад перпендикулярной компоненты в величину 1T даётся выражением

Y

=

1

T-Z

=

2e2E2Nx

mV2

n

1

ln

k2V2Nnx

42

– 1

.

Если теперь в выражении для Y заменить V и E на V и E, а в выражении для Z заменить V на V, оставив E неизменной, мы находим, складывая получившиеся выражения и подставляя значение следующую уточнённую формулу для 1T:

1

T

=

2e2E2Nx

mV2

n

1

ln

k2V2Nnx

42

– ln

1-

V2

c2

–

V2

c2

.

(18)

Мы увидим в дальнейшем, что поправка оказывается значительной лишь тогда, когда скорость V очень близка к скорости света, так как в противном случае последние два члена почти полностью сокращаются.

§ 4. Сравнение с данными измерений для -лучей

В предыдущей статье было показано, что формула (5) § 1 даёт значения, хорошо согласующиеся с измерениями поглощения -лучей в водороде и гелии, если предположить, что атомы этих элементов содержат соответственно один и два электрона; при этом характеристические частоты, использованные в формуле, определялись на основе экспериментов по дисперсии. Было показано также, что приближённое согласие с измерениями поглощения можно получить и для более тяжелых элементов. Для этого нужно предположить, что эти атомы содержат в дополнение к нескольким электронам оптических частот некоторое число более жёстко связанных электронов, собственные частоты которых по порядку величины соответствуют значениям, полученным в экспериментах по характеристическому рентгеновскому излучению. Вычисленные таким образом числа электронов находятся в приближённом согласии с предсказаниями теории Э. Резерфорда, основанной на данных по рассеянию -лучей. Поэтому в настоящем параграфе мы рассмотрим лишь некоторые данные, полученные в последних, более точных экспериментах.

Поскольку скорость -частиц мала по сравнению со скоростью света, имеем T= 1/2 MV^2. Поэтому из формулы (5) следует

dV

dx

=

K

1

n

V3

ln

V

3

–

1

n

ln +

K

2

,

(19)

где

K

1

=

4e2E2N

mM

,

K

2

=

ln

kMm

2eE(M+m)

.

Это выражение зависит от двух величин, характеризующих различные вещества: числа электронов в молекуле n и среднего значения логарифма собственной частоты электронов (1/n) ln . Последняя величина определяет различие вида «кривой скорости», т. е. кривой зависимости V от для разных элементов. В предыдущей статье формула (19) сравнивалась с значениями dV/dx полученными из эксперимента. Однако, поскольку непосредственно наблюдавшейся величиной являются значения V, соответствующие различным x, проще сначала проинтегрировать формулу (14). Это даёт

x

=

V04– V4

3nK1

·

1

z0– z1

z0

z

dz

ln z

,

(20)

где

ln z

=

4

3

ln

V

3

–

1

n

ln +

K

2

.

Таблица для интеграла, входящего в формулу (20), дана Глейшером 1.