Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
x
n
TL
0
(x
1
) … L
0
(x
n
) … .
n!
int
int
(2.1б)
Часто вместо матричных элементов S-матрицы будут рассматриваться матричные элементы токов (или произведений токов), а также матричные элементы составных операторов более общего вида. Их можно получить, введя в лагранжиан взаимодействия L0int вспомогательные члены. Предположим, например, что рассматривается матричный элемент вида
a
|
TJ
(x)J
(y)
|
b
1
2
(2.2)
где J — слабые или электромагнитные токи (см. формулу (1.6)). Для этого заменим лагранжиан Lint слeдyющим выражением:
L
=
L
+ J
(x)
(x) + J
(x)
(x) ,
int
int
1
1
2
2
(2.3)
в котором поля являются c-числовыми вспомогательными полями. Разлагая в ряд, получаем
a
|
T exp i
d
4
x L
int
(x)
|
b
=
a
|
b
+
i
a
|
d
4
x
{
L
0
(x) +
J
0
(x)
(x)
}
|
b
int
i
i
i
+ … +
i
n
n!
a
|
d
4
x
1
…d
4
x
n
T
x
{
L
0
int
(x
1
) +
J
0
i
(x
1
)
i
(x
1
)
}
x …
i
x
{
L
0
int
(x
n
) +
J
0
i
(x
n
)
i
(x
n
)
}
|
b
+ … .
i
Предположим, что поля бесконечно малы, и сохраним в разложении только члены порядка O и O(2). Последние имеют вид
i
n
a
|
d
4
x
1
…d
4
x
n
TL
0
(x)
1
…
[
L
0
(x)
i
]
…
n!
int
int
ij
x
[
L
0
(x)
j
]
… L
0
(x)
n
J
0
(x)
i
J
0
(x)
j
J
|
b
(x)
i
(x)
j
;
int
int
1
1
1
2
здесь символ [L] означает, что член, заключенный в скобки, опущен. Записывая поля в виде i = i(x-yi), дифференцируя по переменным 1 и 2 и полагая 1 = 1 = 0, получаем уравнение Гелл-Манна - Лоу
a|TJ
1
(x)J
2
(y)|b
=
2
1
(x)
2
(y)
x
a|T exp i
d
4
z
{
L
0
int
(z) +
i
J
0
i
(z)
i
(z)
}
|b
=
n=0
in
n!
a|
d
4
x
1
…d
4
x
n
TL
0
int
(x
1
)…
xL
0
int