Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
(x) + g
f
B
(x)G
(x) = 0 .
a
a
abc
b
c
(3.6)
§ 4. Каноническое квантование, фиксация калибровки, ковариантные калибровки
Попытаемся проквантовать свободные глюонные поля. Лагранжиан (янг-миллсовский) для свободного глюонного поля имеет вид
L
0
= -
1
G
0
G
0a
,
YM
4
a
G
0
=
B
0
-
B
0
;
a
a
a
(4.1)
здесь индекс 0 обозначает свободные поля. Выражение (4.1) аналогично лагранжиану, описывающему восемь невзаимодействующих электромагнитных полей. Оно инвариантно относительно свободных калибровочных преобразований:
B
0
– > B
0
–
.
a
a
a
(4.2)
Рассмотрим проблемы и преимущества, связанные с калибровочной инвариантностью. В силу того что поля B определены неоднозначно, невозможно непосредственно проквантовать лагранжиан (4.1). В самом деле, предположим, что для этого применяется стандартная процедура канонического квантования. Определим импульсы, канонически сопряженные полям B0a. Опуская индексы 0, обозначающие свободные поля, для импульсов получаем выражения
(x) =
L
YM
= G
0
,
a
(
0
B
a
)
a
(4.3)
из которых видно, что нулевые компоненты импульсов 0a(x) тождественно равны нулю. Канонические коммутационные соотношения записываются в виде
[
(x),B
(y)](x
0
- y
0
) = -i
g
(x - y).
a
b
ab
(4.4)
Нулевые компоненты полей B0a(x) коммутируют со всеми операторами и, таким образом, являются c -числами.
В этом случае имеются две возможности. Первая состоит в выборе такой калибровки, в которой отсутствовали бы нефизические степени свободы. Но при этом явно нарушается лоренц-инвариантность. Вторая возможность заключается в том, чтобы все компоненты полей B рассматривать единообразно. Поскольку при этом сохраняются нефизические степени свободы, возникает необходимость введения пространства с индефинитной метрикой. Отложим обсуждение физических калибровок до следующего параграфа и рассмотрим ковариантные калибровки.
Как известно из электродинамики (на данном уровне изложения различий между КХД и КЭД нет), нельзя наложить лоренцеву калибровку вида Ba = 0 и сохранить при этом ковариантные коммутационные соотношения. Поэтому приходится отказаться от рассмотрения соотношения B = 0 как операторного уравнения. Введем пространство Гупты—Блейлера GB, в котором соотношение (4.4) принимается в приведенном выше виде. Покажем, что это приводит к возникновению в пространстве GB индефинитной метрики. Назовем физическими векторы, удовлетворяющие условию
|
B
(x)|
=0 .
ph
a
ph
(4.5)
Если теперь приравнять друг другу векторы, различающиеся на вектор с нулевой нормой, т. е. принять
|
ph
~|'
ph
= |
ph
+|
(0)
,
(4.6)
где 0|0 = 0, то мы получим пространство физических векторов L.
Чтобы сохранить соотношение (4.4), необходимо модифицировать лагранжиан (4.1), добавив к нему член -(/2)a(Ba)2 (фиксирующий калибровку). Теперь выражение для лагранжиана принимает вид
L
=
-
1
G
G
-
(
B
)
2
.
YM
4
a
a
2
a
a
a
(4.7)
Такая модификация не приведет к физическим следствиям, по крайней мере в случае свободных полей, так как матричные элементы добавленного члена по физическим векторам в силу условия (4.5) обращаются в нуль. Импульсы, канонически-сопряженные полям B, теперь имеют вид
(x) = G
0
(x) - g
0
B
(x) ,
a
a
a
(4.8)
и ни одна из их компонент не обращается в нуль. Следовательно, можно сохранить соотношение (4.4) без изменений. Но при этом возникает индефинитная метрика. Рассмотрим, например, соотношение (4.4) при = 0: