Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
§ 5. Унитарность, лоренцевы калибровки, духи, физические калибровки
1. Ковариантные калибровки
Следует помнить, что присутствие в пространстве состояний, в котором определены поля, нефизических векторов может привести к нарушению соотношения унитарности. Условие (2.7) или (2.8), выражающее унитарность S-матрицы, справедливо только в пространстве физических состояний. Определяя проекторы на физические состояния P соотношениями
P
H
GB
=
L
,
P
2
=P
+
=P ,
(5.1)
Условия унитарности (2.7) или (2.8) можно записать во всем пространстве в виде
(PSP)(PSP)
+
= P.
(5.2)
Если лагранжиан эрмитов, то S-матрица унитарна в пространстве GB, поэтому условие (5.2) будет выполнено только в том случае, когда S-матрица коммутирует с оператором P. В описанных в предыдущем параграфе калибровках это соотношение справедливо для квантовой электродинамики и не справедливо для КХД, так как, за исключением случая g = 0, калибровочные преобразования в КХД приводят к самодействию глюонов. Это означает, что лагранжиан
L
=
{i
q
q - m
q
q
q} -
1
(DxB)
2
–
(B)
2
, =1-1/ ,
4
2
q
(5.3)
полученный добавлением к выражению (3.5) члена, фиксирующего калибровку, не полон, и его следует изменить.
Для того чтобы понять, какие члены необходимо еще ввести в лагранжиан (5.3), проследим, как нарушается соотношение (5.2) в частном случае калибровки Ферми - Фейнмана. Рассмотрим процесс рассеяния кварка и антикварка во втором порядке теории возмущений.
Фейнмановские диаграммы, дающие вклад в этот процесс, приведены на рис. 1. Вычисление диаграмм рис. 1, 6 и в несложно; трудности возникают лишь при обработке диаграммы рис. 1, а. Вычислим диаграмму рис. 1, а в пространстве размерности D (см. § 7), а затем перейдем к физическому пределу D->4. Соответствующая амплитуда (см. направления импульсов на рис. 1, а) имеет вид6)
6Диаграмма рис. 1, д, часто называемая глюонным "головастиком", не дает вклада в амплитуду рассеяния, так как в размерной регуляризации dDk(k2+i0)– 10 (см § 7).
Рис. 1. Диаграммы qq-рассеяния (а- в), глюонная петпя (г) и глюонный "головастик" (д).
4
=
– g
2
v
k
u
i
t
a
– ig
'
aa'
– ig
'
u
'
k'
v'
i'
t
a'
(P
i
– P
j
),
(2)
2
tr
q
2
q
2
tr
(5.4 а)
где
(q)
=
– ig
2
f
abc
f
a'bc
d
D
k
·
1
2
(2)
D
k
2
(k+q)
2
aa'
x
{[
– (2k+q)
g
+(k-q)
g
+(2q+k)
q
]
a
a
a
x
[
– (2k+q)
g
a
+(k-q)
g
a
+(2q+k)
a
g
]}
.
(5.4 б)
Используя соотношение ff=aa'CA (см. приложение В) и произведя стандартные выкладки, получаем для тензора aa' следующее выражение:
=
aa'
C
A
g
2
32
2
aa'
x
{[
19
N
+
1
–
1
dx(11x
2
– 11x+5)log(-x(1-x)q
2
)
]
q
2
g
6
2
0
–
[
11
N
+
2
-
1
dx(-10x
2
+10x+2)
3
3
0
x
log(-x(1-x)q
2
)
]
q
q
}
;
N
2
-
E
+log 4 ,
= 4-D -> 0 .
(5.5)