Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
:
q
j
(x) ->
U
jk
q
k
(x) .
k
Любую матрицу U группы SU(3) можно записать, исходя из восьми генераторов алгебры Ли ta (матрицы ta приведены в приложении В), в виде
U
=
exp
{
– ig
a
t
a
}
,
a
где а — параметры группы, а множитель g введен для удобства. Представляя триплет qj в виде трехкомпонентного столбца, получаем следующую формулу преобразования:
q(x) -> e– igata q(x) .
Для полей B рассмотрим присоединенное (размерности 8) представление группы SU(3). Генераторами группы SU(3) на этом представлении будут матрицы Ca, матричные элементы которых имеют вид Cabc = -ifabc (значения констант fabc приведены в приложении В). Поля B преобразуются по формуле
B(x) -> e– gaCaB
Если параметры группы a представляют собой константы, не зависящие от пространственно-временной точки x, то лагранжиан квантовой хромодинамики, выписанный в гл. I, оказывается инвариантным по отношению к глобальным преобразованиям группы SU(3)3a), Однако, как мы знаем из квантовой электродинамики (КЭД), эти преобразования полезно обобщить на случай, когда параметры группы a(x) зависят от пространственно-временной точки x. При этом (локальные) калибровочные преобразования определяются в виде
3a Преобразования называют гпобальными, если определяющие их параметры группы представляют собой константы, независящие от пространственно-временной точки x. — Прим. перев.
q(x)
– >
e
– iga(x)ta
(3.1а)
Аналогично обобщаются обычные преобразования КЭД для калибровочных полей:
B
(x)
– >
e
– iga(x)Ca
B
(x) -
(x)
,
(3.1 б)
или в случае инфинитезимальных преобразований
q
j
(x)
– >
q
j
(x)
–
ig
a
(x)
t
a
jk
q
k
(x),
a,k
(3.1 в)
B
(x)->B
(x)+g
f
(x)B
–
(x).
a
a
abc
b
c
a
b,c
В дальнейшем будет предполагаться инвариантность лагранжиана КХД относительно преобразований (3.1) (в действительности лагранжиан (1.11) обладает этим свойством по построению). Это требование приводит к тому, что поля в лагранжиане появляются в строго определенных комбинациях. Из последующего рассмотрения станет ясно, что лагранжиан (1.11) является фактически наиболее общим лагранжианом, инвариантным по отношению к преобразованиям (3.1) и не содержащим констант размерности массы в отрицательной степени (ср. с § 38 и следующими за ним параграфами).
Рассмотрим, как при калибровочных преобразованиях преобразуются производные от полей, например производная q(x). Из (3.1в) вытекает следующий закон преобразования производной:
q
j
(x)->
q
j
(x)
–
ig
t
a
(x)
q
k
(x)
jk
a
–
ig
t
a
(
(x))q
k
(x).
jk
a
Мы видим, что она преобразуется иначе, чем сами поля. Требование инвариантности лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям приводит к тому, что все производные от полей должны появляться только в ковариантных комбинациях:
D
q
j
(x)
{
– ig
B
(x)t
a
}
q
k
(x);
jk
a
jk
k
a
(3.2)
здесь D– так называемая (калибровочная) ковариантная производная. Легко доказать ковариантный характер производной D. С использованием матричных обозначений преобразование для ковариантной производной Dq(x) имеет вид
D
q(x)
– >
(x)-ig
t
a