Чтение онлайн

(x

n

)J

0

1

(x)J

0

2

(y)|b .

(2.4)

Для того чтобы приравнять правую часть (2.4) матричному элементу (2.2), использована формула (доказанная Боголюбовым и Ширковым [45], см. также § 39 и 42; определение функциональной производной дано в приложении 3)

2S

1(x) 2(y)

= 0

=

TJ

1

(x)J

2

(x) .

(2.5)

Рассмотрим вопрос о релятивистской инвариантности и унитарности S-матрицы. Если оператор U(a,) осуществляет некоторое преобразование из группы Пуанкаре, то должно выполняться соотношение

U(a,)SU

– 1

(a,) = S ,

(2.6)

из которого следует, что S-матрица представляет собой релятивистски инвариантный оператор. S-матрица является также унитарным оператором:

S

+

S

=

SS

+

= 1 .

(2.7)

Записав выражение для S-матрицы в виде

S = i ,

где матричные элементы a||b представляют собой так называемую амплитуду перехода системы из состояния |a в состояние |b, получим из (2.7) соотношение для оператора

Im

a

|

|

b

= 1/2

c

|

|

b

c

|

|

b

*

.

all c

(2.8)

(При выводе соотношения (2.8) предполагалась инвариантность S-матрицы по отношению к обращению времени.) При разложении левой и правой частей (2.6) и (2.8) по степеням константы связи g в каждом порядке теории возмущений возникают определенные соотношения. В силу линейности уравнение (2.6) сохраняет свой вид в каждом порядке разложения по константе связи g. Нелинейность же уравнения (2.8) приводит к смешиванию членов разного порядка малости по константе связи. Например, если написать

=

g

n = 0

g

n

n

то, ограничиваясь членами второго порядка малости по g, имеем

Im

a

|

2

|

b

= 1/2

 

all c

{

c

|

0

|

b

c

|

2

|

a

*

+

c

|

2

|

b

c

|

0

|

a

*

+

c

|

1

|

b

c

|

1

|

a

*

}

.

(2.9)

Завершим краткий обзор основных вопросов теории поля введением редукционных соотношений. Рассмотрим амплитуду рассеяния, например для процесса a + b -> a' + b', где a и a' - бозоны, описываемые полями a и a'. Амплитуду рассеяния можно записать в виде

a',b'

|

S

|

a,b

=

lim

a',b',t'

|

a,b,t

.

t'->+

t->–

Если через pi обозначить импульс частицы i и использовать формулу (подробный вывод редукционных соотношений содержится, например, в книге Бьёркена и Дрелла [ 40])

i

2(2)

3/2

a

+

(p

a

)

=

lim

d

x

e

– ipa·x

0

+

(x) ,

t->–

то посыле некоторых вычислений можно получить редукционные соотношения типа

a',b'

|

S

|

a,b

 =

i

d

4

x e

– ipa·x

(2)

3/2

x(

2

+ m

2

)

a',b'

|

+

(x)

|

b

.

a

a

Мы не будем выводить редукционных соотношений или выписывать их полный набор, который можно найти в книге [40], но приведем лишь несколько типичных примеров их использования. Если кроме бозона a "редуцировать" также бозон a', то получается соотношение

a',b'

|

S

|

a,b

 =

i

 x

– i

d

4

x

d

4

y e

– ip·x

e

ip·y

(2)

3/2

(2)

3/2

x

(

2

 + m

2

)(

2

 + m

2

)

b'

|