Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
[
B
(x),B
(y)](x
– y
)=i
(x-y) .
a
b
0
0
ab
0
4
(4.9)
Это соотношение оказывается знаконеопределенным. Чтобы убедиться в этом, перейдем в импульсное пространство. Положим калибровочный параметр = 1 и введем канонические тетрады (p)(k), связанные с некоторым светоподобным вектором k:
(0)
=
0
;
(i)
0
=0,
(i)
·
k=0,
i=1,2,
(3)
=
1
k
0
k
–
0
;
(i)
(j)
= -
, i,j = 1,2,3.
ij
(4.10)
Компоненты (i)(i=1,2) соответствуют физическим частицам с нулевой массой, 3 представляет собой продольную компоненту, а компонента 0 соответствует объекту со спином нуль. Поля B можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид
B
b
(x)
=
1
(2)
3/2
d
k
2k
0
p
{
e
– ik·x
(k)a
(b,k)
+
e
ik·x
(p)
(k)
*
a
+
(b,k)
}
.
p
(4.11)
Используя соотношения (4.4), получаем следующие коммутационные соотношения для операторов a и a+:
[a
(b,k),a
+
(b',k')] = -g
2k
0
(
k-
k'),
bb'
(4.12)
из которых видно, что вакуумное среднее 0|a0(k)a+0(k)|0 в рассматриваемой нами калибровке отрицательно.
Исходя из соотношений (4.12), можно вычислить пропагатор калибровочного поля B. Введя обозначение
TB
(x)B
= D
(x),
a
b
0
ab
глюонный пропагатор при произвольном значении параметра можно записать в виде
D
(x) =
i
d
4
ke
– ik·x
– g
+(1-
– 1
)k
k
/(k
2
+i0)
.
ab
ab
(2)
4
k
2
+i0
(4.13 a)
Для вакуумного матричного элемента использовано сокращенное обозначение
fg…h
0
0|fg…h|0,
которое будет неоднократно встречаться и в дальнейшем. Выражение для пропагатора D можно упростить, введя обозначение 1-1/=. В импульсном пространстве выражение для пропагатора глюонного поля имеет вид
D
(k) = i
ab
– g
+k
k
/(k
2
+i0)
.
ab
k
2
+i0
(4.13 б)
Особенно простой является калибровка Ферми - Фейнмана, которая соответствует значению параметра =0. Иногда оказывается удобной поперечная калибровка, или калибровка Ландау, отвечающая значению =1.
В действительности для случая /=1 выражение (4.13) должно быть подучено несколько иным способом, так как для физических безмассовых глюонов член kk/k2 обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти, приписывая глюонам некоторую фиктивную массу M. Тогда в импульсном пространстве пропагатор описывается выражением
D
(k,M) =
– g
+(1-
– 1
)k
k
/(k
2
–
– 1
M
2
+i0)
i
ab
,
ab
k
2
– M
2
+i0
из которого в пределе M->0 следует выражение (4.13).
В квантовой электродинамике фотоны не испытывают самодействия, поэтому в рамках этой теории использование ковариантных калибровок не сопряжено с дополнительными трудностями и проводится на описанном выше уровне. Но в случае квантовой хромодинамики самодействие глюонов приводит к дальнейшим усложнениям. Этому вопросу посвящен следующий параграф.