Чтение онлайн

Z

=

–

1

4c^2

m

Q

–

u^2

Q(Q+R-m)

.

665. Пользуясь этими выражениями, мы должны помнить, что движение, предшествующее рассматриваемому моменту времени, предполагается по своей продолжительности бесконечно долгим. Поэтому не следует брать величину m положительной, ибо в этом случае полюс за конечное время должен был бы пройти сквозь лист.

Если взять скорость m отрицательной и положить u=0, то получим

X

=

0

и

Z

=

1

4c^2

m

R+m

т.е. полюс, приближаясь к листу, отталкивается от него.

Положив m=0, находим

Q^2

=

u^2

+

R^2

,

X

=

–

1

4c^2

·

uR

Q(Q+R)

,

Z

=

1

4c^2

·

u^2

Q(Q+R)

.

Составляющая X представляет собой силу торможения, действующую на полюс в направлении, противоположном направлению его движения. При заданном значении R сила X максимальна, когда u=1,27 R.

Для непроводящего листа R= и X=0. Для идеально проводящего листа R=0 и X=0.

Составляющая Z представляет собой силу отталкивания полюса от листа. С ростом скорости она увеличивается и в пределе достигает значения 1/(4c^2), когда скорость становится бесконечной. Это же значение она принимает при R=0.

666. Когда магнитный полюс движется вдоль кривой, параллельной листу, вычисления становятся более сложными, но легко видеть, что ближайший участок дорожки изображений создаёт силу, действующую на полюс в направлении, противоположном направлению его движения. Действие участка дорожки, находящегося непосредственно позади ближайшего участка, аналогично действию магнита с осью, параллельной направлению движения полюса в предшествующий момент времени.

Поскольку ближайший полюс этого магнита одноимёнен с движущимся полюсом, то сила будет состоять частично из силы отталкивания, а частично из силы, параллельной прежнему направлению движения, но противоположной ему по знаку. Она может быть разложена на тормозящую силу и на силу в направлении вогнутой стороны того пути, по которому движется полюс.

667. Наше рассмотрение не предоставляет нам возможности решать задачу в случае, когда распределение токов не может быть полностью сформировано из-за наличия у проводящего листа разрывов или границ.

Легко видеть, однако, что если полюс двигается параллельно краю листа, то токи на прилегающей к этому краю части листа ослаблены. Следовательно, силы, обусловленные этими токами, будут меньше, и поэтому не только тормозящая сила будет меньше, но, поскольку сила отталкивания минимальна на участках листа, непосредственно прилегающих к его краю, полюс будет притягиваться к краю.

Теория вращающегося диска Араго

668. Араго открыл 2 , что на магнит, помещённый вблизи вращающегося металлического диска, действует сила, стремящаяся заставить его следовать за движением диска, хотя в случае, когда диск покоится, взаимодействие между ним и магнитом отсутствует. Это действие вращающегося диска сначала относили даже к некоему новому виду намагниченности, пока Фарадей 3 не объяснил его при помощи электрических токов, индуцируемых в диске при его движении в поле магнитной силы.

2Annales de Chimie et de Physique, Tome 32, p. 213-223, 1826.

3Exp. Res., 81.

Для того чтобы определить эти индуцированные токи, а также их воздействие на магнит, мы могли бы воспользоваться результатами, уже полученными нами для покоящегося проводящего листа, находящегося под действием движущегося магнита, и применить приведённый в п. 600 метод рассмотрения электромагнитных уравнений в движущейся системе осей координат. Однако, поскольку этот случай особо важен, мы прибегнем к прямому решению задачи, начав с предположения о том, что полюса магнита достаточно удалены от края диска и можно пренебречь влиянием ограниченности проводящего листа.

Используя те же обозначения, что и в предыдущих параграфах (п. 656-667), для составляющих электрической силы, параллельных соответственно осям x и y, находим

u

=

dy

dt

–

d

dx

,

v

=-

dx

dt

–

d

dy

,

(1)

где есть составляющая магнитной силы, нормальная к диску.

Если выразить теперь u и v через функцию тока , то

u

=

d

dy

,

u

=

–

d

dx

,

(2)

и, если диск вращается с угловой скоростью вокруг оси z,

dy

dt

=

x

,

dx

dt

=

– y

.

(3)

Подставляя эти величины в уравнения (1), находим

d

dy

=

x

–

d

dx

,

(4)

–

d

dy

=

y

–

d

dy

.

(5)

Умножая (4) на x, а (5) на y, а затем складывая результаты, получаем

x

d

dy

–

y

d

dx

=

(x^2+y^2)

–

x

d

dy

+

y

d

dx

.

(6)

Умножая (4) на y, а (5) на -x и затем складывая результаты, получаем

x

d

dy

+

y

d

dx

=

x

d

dy

–

y

d

dx

.

(7)

Если выразить теперь эти уравнения через r и , где

x

=

rcos

,

y

=

rsin

,

(9)

то они примут вид

d

d

=

r^2

–

r