Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
a
=
+
4A
,
b
=
+
4B
,
c
=
+
4C
.
(5)
Составляющие тока u, v, w можно выразить через , , с помощью уравнений п. 607;
4u
=
d
dy
–
d
dz
,
4v
=
d
dz
–
d
dx
,
4w
=
d
dx
–
d
dy
.
(6)
Следовательно,
X
=
1
4
(a-)
d
dx
+
(b-)
d
dx
+
(c-)
d
dx
+
+
b
d
dy
–
d
dx
+
c
d
dz
–
d
dx
,
=
1
4
a
d
dx
+
b
d
dy
+
c
d
dz
–
1
2
d
dx
(^2+^2+^2)
.
(7)
В соответствии с п. 403
da
dx
+
db
dy
+
dc
dz
=
0.
Умножив уравнение (8) на и разделив на 4, мы можем добавить результат к (7), тогда получим
X
=
1
4
d
dx
a
–
1
2
(^2+^2+^2)
+
+
d
dy
[b]
+
d
dy
[c]
,
(9)
а с учётом (2)
L
=
1
4
{
(b-)
–
(c-)
},
(10)
=
1
4
(b-c)
,
(11)
где X - сила в направлении оси x, отнесённая к единице объёма, а L - момент сил (на единицу объёма) относительно этой оси.
Об объяснении этих сил с помощью гипотезы о наличии среды в напряжённом состоянии
641. Обозначим напряжение любого вида, отнесённое к единице площади, символом вида Phk, где первый индекс h показывает, что нормаль к поверхности, на которую по предположению действует напряжение, параллельна оси h, а второй индекс k показывает, что направление напряжения, с которым действует часть тела, прилегающая к положительной стороне поверхности, на часть тела, прилегающую к отрицательной стороне, является направлением, параллельным оси k.
Направления h и k могут совпадать - в этом случае напряжение является нормальным. Они могут быть наклонены относительно друг друга - в этом случае напряжение является наклонным; наконец, могут быть перпендикулярны друг другу - в этом случае напряжение является тангенциальным.
Условие, при котором напряжения не создают никакого стремления к вращению элементарной части тела, есть Phk=Pkh.
Однако в случае намагниченного тела такая тенденция к вращению имеется, и, следовательно, это условие, справедливое в обычной теории напряжений, оказывается невыполненным.
Рассмотрим действие напряжения на шесть сторон элементарного объёма тела dxdydz, взяв начало координат в его центре тяжести.
На положительную сторону поверхности dydz, где значение x равно dx/2, действуют силы:
параллельно
x
P
xx
+
1
2
dPxx
dx
dy
dz
=
X
+x
,
параллельно
y
P
xy
+
1
2
dPxy
dx
dy
dz
=
Y
+x
,
параллельно
z
P
xz
+
1
2
dPxz
dx
dy
dz
=
Z
+x
.
(12)
Силы, действующие на противоположную сторону, -X– x, -Y– y, -Z– z можно получить, сменив знак при dx. Таким же способом мы можем выразить системы трёх сил, действующих на все остальные поверхности этого элемента, обозначая направление силы заглавной буквой, а поверхность, на которую она действует, индексом.
Если обозначить полную силу, действующую на элемент параллельно оси x, через Xdxdydz, то
Xdxdydz
=
X
+x
+
Y
+x
+
Z
+x
+
X
– x
+
Y
– x
+
Z
– x
,
=
dPxx
dx
+
dPyx
dy
+
dPzx
dz
dxdydz
,
откуда
X
=
d
dx
P
xx
+
d
dy
P
yx
+
d
dz
P
zx
.
(13)
Если Ldxdydz является полным моментом сил относительно оси x, стремящимся повернуть элемент в направлении от y к z, то
Ldxdydz
=
1
2
dy
(Z
+y
– Z
– y
)
–
1
2
dz
(Y
+z
– Y
– z
)
,
=
(P
yz
– P
zy
)
dxdydz
,
откуда
L
=
P
yz
– P
zy