Чтение онлайн

M

=

4

3

N

a

.

673. Теперь определим способ намотки провода, приводящий к созданию внутри сферы магнитного потенциала в виде объёмной зональной гармоники второго порядка:

=

– 3

1

a

A

r^2

a^2

3

2

cos^2

–

1

2

.

Здесь

=

5

4

A

a

3

2

cos^2

–

1

2

.

Если полное число витков равно N. то число витков, укладывающихся между полюсом и полярным углом , будет 1/2 Nsin^2.

Плотнее всего витки расположены на широте 45°. На экваторе направление намотки меняется, и в другой полусфере витки имеют противоположное направление.

Пусть есть сила тока в проводе, тогда внутри оболочки

=-

4

5

N

r^2

a^2

3

2

cos^2

–

1

2

.

Рассмотрим теперь проводник в форме плоской замкнутой кривой, расположенный в произвольном месте внутри оболочки в плоскости, перпендикулярной её оси. Для определения коэффициента индукции проводника мы должны найти Поверхностный интеграл от -d/dz по плоской площадке, ограниченной этой кривой, положив =1.

В этом случае

=-

4

5a^2

N

z^2

–

1

2

(x^2+y^2)

и

–

d

dz

=

8

5a^2

N

·

z

.

Следовательно, если S есть площадь, ограниченная замкнутой кривой, то её коэффициент индукции равен

M

=

8

5a^2

NSz

.

Если ток в этом проводнике равен ', то, согласно п. 583, должна существовать сила Z, действующая на проводник в направлении z, равная

Z

=

'

dM

dz

=

8

5a^2

NS

'

,

и, поскольку это выражение не зависит от x, y, z, сила оказывается одной и той же, в какую бы часть оболочки ни был помещён данный контур.

674. Метод, предложенный Пуассоном и описанный в п. 437, может быть применён к токовым листам, если вместо тела, которое предполагается однородно намагниченным в z-направлении с интенсивностью I, взять токовый лист, имеющий форму поверхности тела и обладающий функцией тока, равной

=

Iz

.

(1)

Токи, текущие по листу, расположены в плоскости, параллельной плоскости xy сила тока, циркулирующего по срезу толщиной dz, равна Idz.

В любой точке вне токового листа магнитный потенциал, обусловленный им, равен

=-

I

dV

dz

,

(2)

где V - потенциал, создаваемый листом с единичной поверхностной плотностью. В произвольной точке внутри оболочки потенциал равен

=-

4Iz

–

I

dV

dz

.

(3)

Составляющие вектор-потенциала равны

F

=

I

dV

dy

,

G

=-

I

dV

dx

,

H

=

0,

(4)

Эти результаты могут быть применены к различным случаям, возникающим на практике.

675. (1). Плоский электрический контур произвольной формы.

Пусть V есть потенциал, создаваемый плоским листом произвольной формы, имеющим единичную поверхностную плотность; тогда, если этот лист заменить либо на магнитную оболочку мощности I, либо на электрический ток силы I, текущий по её границе, величины , и F, G, H будут иметь значения, приведённые выше.

(2). Для сплошного шара радиуса a

V

=

4

3

a^3

r

,

когда

r

больше

a

,

(5)

и

V

=

2

3

(3a^2-r^2)

,

когда

r

меньше

a

.

(6)

Следовательно, если такой шар намагничен параллельно направлению z с интенсивностью I, то магнитный потенциал равен

=

4

3

I

a^3

r^3

z

вне шара

(7)

и

=

4

3

Iz

внутри шара.

(8)

Если вместо намагничивания обмотать шар эквидистантно расположенными круговыми витками с током так, чтобы суммарная сила тока между двумя малыми окружностями, плоскости которых находятся на единичном расстоянии друг от друга, была I, то вне шара значения остаётся прежним, а внутри станет равным

=-

8

3

Iz

.

(9)

Этот случай уже обсуждался в п. 672.

(3). Случай эллипсоида, однородно намагниченного параллельно некоторой заданной линии, тоже уже обсуждался в п. 437.

Если эллипсоид обмотан проводом по параллельным и эквидистантным плоскостям, то магнитная сила внутри него будет однородной.

(4). Цилиндрический магнит или соленоид

676. Если тело представляет собой цилиндр с сечением произвольной формы, ограниченный плоскостями, перпендикулярными его образующим, и если V является потенциалом, создаваемым в точке (x,y,z) плоской площадкой, совпадающей с положительным торцом соленоида и несущей единичную поверхностную плотность, а V - потенциалом, создаваемым в той же самой точке плоской площадкой, совпадающей с отрицательным торцом соленоида и тоже несущей единичную поверхностную плотность, то потенциал цилиндра, однородно и продольно намагниченного с единичной интенсивностью, создаваемый в точке (x,y,z), будет равен